(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Ho fem ???

Resposta:

#a = 1, b = 1 #

Explicació:

Resoldre la manera tradicional

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Ara resolent per # a #

#a = 1/2 (1 + bpm pmrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # però # a # ha de ser real, així que la condició és

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # o bé # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

ara substituint i resolent # a #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # i la solució és

#a = 1, b = 1 #

Una altra manera de fer el mateix

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

però

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

i concloure

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Resposta:

D. Hi ha exactament un parell de solucions # (a, b) = (1, 1) #

Explicació:

Donat:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Tingueu en compte que podem fer que aquest sigui un problema homogeni simètric simpàtic generalitzant:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

llavors establir # c = 1 # al final.

Ampliant els dos costats d’aquest problema generalitzat, tenim:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Restant el costat esquerre de tots dos costats, obtenim:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (blanc) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (blanc) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Per a valors reals de # a #, # b # i # c #, això només pot contenir si tot # (a-b) #, # (b-c) # i # (c-a) # són zero i per tant:

#a = b = c #

A continuació, posar # c = 1 # trobem l’única solució al problema original, és a dir, # (a, b) = (1, 1) #