X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x ). Si us plau, ajuda'm amb la primera declaració?

Per entendre aquestes afirmacions, primer hem d'entendre la notació que s’utilitza.

• # AA # - per a tot - Aquest símbol implica que alguna cosa és vàlida per a cada exemple d’un conjunt. Així, quan afegim una variable # x #, # AAx # vol dir que alguna declaració s'aplica a tots els possibles valors o elements que podem substituir # x #.

• #P (x), Q (x) # - proposició - Aquestes són proposicions lògiques relatives a # x #, és a dir, representen afirmacions sobre # x # que són veritables o falses per a qualsevol particular # x #.

• # # - i - Aquest símbol permet la combinació de múltiples proposicions. El resultat combinat és cert quan les dues proposicions tornen certes i falses en cas contrari.

• # # - o bé - Aquest símbol també permet la combinació de múltiples proposicions. El resultat combinat és fals quan ambdues proposicions tornen falses i cert que no.

• # # - si i només si - Aquest símbol també permet la combinació de múltiples proposicions. El resultat combinat és cert quan ambdues proposicions retornen el mateix valor de veritat per a tots # x #, i fals en cas contrari.

Amb això, ara podem traduir les declaracions. La primera declaració, directament formulada, sonarà com "Per a tots x, P de x i Q de x si i només si per a tots x, P de x, i per a tots x, Q de x".

Algunes modificacions i addicions de menor importància fan que sigui una mica més comprensible.

"Per a tots els x, P i Q són vàlids per a x si i només si P és cert per a tots els x i Q és cert per a tots els x".

Aquesta afirmació és una tautologia, és a dir, és veritat independentment del que substituïm per P o Q. Podem demostrar-ho demostrant que la proposició anterior a the implica la que hi ha després, i viceversa.

A partir de la declaració anterior, tenim això per a tots # x #, #P (x) Q (x) # és cert. Mitjançant la nostra definició anterior, això significa que per a tots # x #, #P (x) # és cert i #Q (x) # és cert. Això implica que per a qualsevol # x #, #P (x) # és cert i per a qualsevol # x #, #Q (x) # és cert, que és la declaració que apareix després de la.

Si partim de la declaració que apareix després de la, llavors sabem que per a qualsevol # x #, #P (x) # és cert i per a qualsevol # x #, #Q (x) # és cert. Llavors per a tots # x #, #P (x) # i #Q (x) # són veritables, significant per a tots # x #, #P (x) Q (x) # és cert. Això demostra que la primera declaració sempre és certa.

La segona afirmació és falsa. Sense passar pel procés complet com anteriorment, simplement podem demostrar que les dues proposicions a banda i banda del no sempre tenen el mateix valor de veritat. Per exemple, suposem que per a la meitat de tots els possibles # x #, #P (x) # és cert i #Q (x) # és fals, i per a l'altra meitat, #Q (x) # és cert i #P (x) # és fals.

En aquest cas, com per a tots # x #, tampoc #P (x) # o bé #Q (x) # és cert, la proposició #AAx (P (x) Q (x)) # és cert (vegeu les descripcions de anterior). Però, perquè hi ha valors per a # x # per quin #P (x) # és falsa, la proposició #AAxP (x) # és fals. De la mateixa manera, #AAxQ (x) # també és fals, és a dir #AAxP (x) AAxQ (x) # és fals.

Com que les dues proposicions tenen valors de veritat diferents, és clar que la veritat d’un no garanteix la veritat de l’altre i, per tant, unir-los a resulta en una nova proposició falsa.