Dos números tenen una diferència de 20. Com trobeu els números si la suma dels seus quadrats és mínima?

Resposta:

#-10,10#

Explicació:

Dos números # n, m # de tal manera que # n-m = 20 #

La suma dels seus quadrats es dóna per

# S = n ^ 2 + m ^ 2 # però #m = n-20 # tan

# S = n ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Com podem veure, #S (n) # és una paràbola amb un mínim de

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # o a # n_0 = 10 #

Els números són

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Resposta:

10 i -10

Resolut sense càlcul.

Explicació:

A la resposta de Cesareo # d / (dn) S (n_0) # és el càlcul. Vegem si podem solucionar-ho sense càlculs.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (magenta) ("Sigui el primer nombre" x) #

Sigui el segon número # x + 20 #

Conjunt # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr "" y "és la suma dels seus quadrats" # #

#color (vermell) ("Per tant, hem de trobar el valor de x que dóna el valor mínim") # #color (vermell) ("de" y) #

Aquesta equació és quadràtica i com la # x ^ 2 # el terme és positiu, llavors la seva forma general és de forma # uu #. Així, el vèrtex és el valor mínim de # y #

Escriu com # y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

El que segueix és part del procés per completar la plaça.

Tingueu en compte els 20 de # 20x #

#color (magenta) ("Llavors, el primer nombre és:" x _ ("vèrtex") = (- 1/2) xx20 = -10) #

Així, el primer nombre és # x = -10 #

El segon nombre és # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" color (verd) (barra (ul (| color (blanc) (2/2) "Els dos números són: -10 i 10" |))) #