Què són els extrems i els punts de selecció de f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Resposta:

# {: ("Punt crític", "Conclusió"), ((0,0,0), "cadira"):}

Explicació:

La teoria per identificar l'extrem de # z = f (x, y) # és:

1. Resoldre simultàniament les equacions crítiques

   # (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial i) = 0 (és a dir # f_x = f_y = 0 #)

2. Avaluar #f_ (x x), f_ (yy) i f_ (xy) (= f_ (yx)) # en cadascun d’aquests punts crítics. Per tant, avaluar # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # en cadascun d’aquests punts
3. Determineu la naturalesa de l’extrema;

   # {: (Delta> 0, "Hi ha mínim si" f_ (xx) <0), (, "i un màxim si" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "hi ha un punt de selle"), (Delta = 0, "Es necessita una anàlisi addicional"):}

Així que tenim:

# f (x, y) = xy (e ^ (i ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (i ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Trobem les primeres derivades parcials:

# (parcial f) / (parcial x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -eu ^ (x ^ 2) #

# (parcial f) / (parcial i) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Per tant, les nostres equacions crítiques són:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -eu ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (i ^ 2) + i ^ (i ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

A partir d’aquestes equacions tenim:

# y = 0 # o bé # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # o bé # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

I l’única solució simultània és # x = y = 0 #

I així ho tenim un punt crític a l’origen

Així doncs, mirem ara les segones derivades parcials de manera que puguem determinar la naturalesa del punt crític (només citaré aquests resultats):

(parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

(parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= parcial ^ 2f) / (parcial i parcial x)) #

I hem de calcular:

# Delta = (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) (parcial ^ 2f) / (parcial i ^ 2) - ((parcial ^ 2f) / (parcial x parcial)) ^ 2 #

en cada punt crític. Els segons valors derivats parcials, # Delta #, i la conclusió són les següents:

# {: ("Punt crític", (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial i ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial), Delta, "Conclusió"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "inclús"):}

Aleshores, després de tot això, és bastant decebedor obtenir un resultat inclusiu, però si examinem el comportament al voltant del punt crític, podem establir fàcilment que és un punt de muntar.

Podem veure aquests punts crítics si observem un gràfic en 3D: