Quines de les següents afirmacions són veritables / falses? (i) R² té infinits subespais vectorials propis de zero (ii) Cada sistema d'equacions lineals homogènies té una solució no nul·la.

Resposta:

# #

# "(i) cert." #

# "(ii) fals".

Explicació:

# #

# "Proves". #

# "(i) Podem construir un conjunt de subespais:" #

# "1)" tot r a RR, "let:" ququad quad V_r = (x, r x) a RR ^ 2. #

# "Geomètricament", V_r "és la línia a través de l'origen de" RR ^ 2, "de pendent" r.

# "2) Comprobarem que aquests subespais justifiquin l’afirmació (i)". #

# "3) Clarament:" quadquadquadquadquadquadquadquadququad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Comproveu que:" quadquad V_r "és un subespai adequat de" RR ^ 2. #

# "Deixeu:" quad u, v en V_r, alfa, beta en RR. quadquadquad quad "Verifiqueu que:" quad o + beta v en V_r. #

# u, v a V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "per a alguns" x_1, x_2 en RR #

#quadquadquadquad:. quad quad u u v beta v = (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

#quadquququququququququququququququququququququququququququququququaducaradaquadrepaix (x_1, rx_1) + beta (x_2, rx_2) #

#quadquququququququququququququququququququququququququququququququaducarquad = x x 1, al r x_1 + (x x 2, beta r x 2) #

#quadquququququququququququququququququququququququququququququququaducarquad = x x1 + beta x_2, r x_1 + beta r x_2

#quadquququququququququququququququququququququququququququququququaducatquad = x x1 + beta x_2, r (xx1 + beta x_2) #

#quadququququadquadquadadquadquadreplegada quad = (x_3, rx_3) a V_r; quad "amb" x_3 = x x 1 + beta x_2. #

# "Així:" Quad Quad Quadu, V a V, R, Alfa, En RR Quad Quatre Alfa + V beta V a r. #

# "Així:" Quad Quad Quad Quad Quad Quad Quatre V "És un subespai de" RR ^ 2. #

# "Per veure que" V_r "no és zero, tingueu en compte que:" #

#quadququququadquadquadquadquadquad (1, r) a V_r, "i" (1, r) ne (0, 0).

# "Per veure que" V_r "és correcte", "observeu que" (1, r + 1)! A V_r: #

# (1, r + 1) a V_r rArr "(per construcció de" V_r ")" quad r

#quadququququadquadquadquadquadquadrrrr = r + 1, "clarament impossible". #

# "Així:" Quadquadquadquad V_r "és un subespai propi de" zero "de RR ^ 2. quad quad (1) #

# "5) Ara mostra que hi ha infinitat de subespais" "V_r. #

# "Deixa:" Quad Quad, S a RR. quadquadquad quad "Hem de mostrar:" quad r s s Arr V_r o V_s. #

# "Per definició:" quad (1, r) = (1, r 1) en V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) en V_s. #

# "Clarament:" quad quad quad quad qquad r s sr (1, r) ne (1, s). #

# "Així:" Quad Quad Quad Ququad Quad Quad R Es S Arr V V o S. #

# "Així, cadascun" r a RR "produeix un subespai diferent" V_r. #

# "Això, juntament amb (1), dóna:" #

# "La família de subespais:" en RR, "és una família infinita".

# "de subespais propis de" zero ", RR ^ 2. quad quad qquad quad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad

# "(ii) Això és realment fàcil. Si el sistema és quadrat i el" # "

# "matriu de coeficients del sistema invertible, només hi haurà" #

# "la solució zero". #

# "Suposem:" quad quad quad A "és una matriu quadrada, invertible." #

# "Penseu en el sistema homogeni:" #

#quadquququququququququququququququququququququququququququququququququququququququad Ax = 0. #

# "Per tant, com" A "és invertible:" #

#quad ququququad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cd A x = A ^ {- 1} cd 0. #

#quadquadquad quadquad:. qquad quad quad quad I x = 0. #

#quadquadquad quadquad:. quad quad quad quad x = 0. #

# "Així, el sistema homogeni" A x = 0, "no té"

# "solució diferent de zero". quad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad

Quines de les següents afirmacions són certes en comparar les dues solucions de buffer hipotètiques següents? (Suposem que l’AC és un àcid feble.) (Vegeu les opcions en resposta).

La resposta correcta és C. (Resposta a la pregunta). Buffer A: 0,250 mol HA i 0,500 mol A ^ - en 1 L d'aigua pura Buffer B: 0,030 mol HA i 0,025 mol A ^ - en 1 L d'aigua pura A. El tampó A és més centrat i té una capacitat tampó més alta El buffer BB del buffer A és més centrat, però té una capacitat de memòria intermèdia menor que el Buffer BC Buffer B és més centrat, però té una capacitat de memòria intermèdia menor que el Buffer AD Buffer B és més centrat i té una capacitat de memòria intermèdi

Quines de les següents afirmacions són veritables / falses? Doneu raons a les vostres respostes. 1. Si σ és una permutació parella, llavors σ ^ 2 = 1.

Fals Una permutació parell es pot descompondre en un nombre parell de transposicions. Per exemple ((2, 3)) seguit de ((1, 2)) és equivalent a ((1, 2, 3)) Així que sigma = ((1, 2, 3)) després sigma ^ 3 = 1 però sigma ^ 2 = ((1, 3, 2))! = 1

Sense gràfics, com decidiu si el següent sistema d'equacions lineals té una solució, infinites solucions o cap solució?

Un sistema d’equacions lineals N amb variables desconegudes que no conté cap dependència lineal entre equacions (és a dir, el seu determinant no és zero) tindrà una única solució. Considerem un sistema de dues equacions lineals amb dues variables desconegudes: Ax + By = C Dx + Ey = F Si el parell (A, B) no és proporcional al parell (D, E) (és a dir, no existeix aquest nombre k que D = kA i E = kB, que es pot comprovar mitjançant la condició A * EB * D! = 0), hi ha una i només una solució: x = (C * EB * F) / (A * EB * D) , y = (A * FC * D) / (A * EB * D) Exemp