Què és una solució a l'equació diferencial dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Resposta:

La solució general és:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Explicació:

Tenim:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Podem recopilar termes per a variables similars:

# 1 / (y-1) ^ 2 d / dt = e ^ t #

Que és una equació diferencial no lineal ordinària separable de la primera ordre, de manera que podem "separeu les variables" aconseguir:

# int 1 / (y-1) ^ 2 d = int e ^ t dt #

Les dues integrals són les de funcions estàndard, de manera que podem utilitzar aquest coneixement per integrar directament:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

I podem reorganitzar fàcilment # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-i = 1 / (e ^ t + C) #

Liderant a la solució general:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Resposta:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Explicació:

Aquesta és una equació diferencial separable, el que significa que es pot escriure en la forma:

# dy / dx * f (i) = g (x) #

Es pot resoldre integrant els dos costats:

f (y) d = int g (x) dx #

En el nostre cas, primer hem de separar la integral a la forma correcta. Ho podem fer dividint les dues parts per # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Ara podem integrar els dos costats:

1/1 (y-1) ^ 2 d = int e ^ t dt #

1/1 (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Podem resoldre la integral de la mà esquerra amb una substitució de # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

La substitució (i la combinació de constants) dóna:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Multiplica els dos costats de # y-1 #:

# -1 = (i ^ t + C_3) (y-1) #

Divideix els dos costats per # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #