Els nombres reals a, b i c satisfan l'equació: 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2 - 4ab - 12ac = 0. Mitjançant la formació de quadrats perfectes, com es demostra que a = 2b = c?

Resposta:

# a = 2b = 3c #, Vegeu l’explicació i la prova a continuació.

Explicació:

# 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2-4ab-12ac = 0

Tingueu en compte que els coeficients són tots fins i tot excepte un ^ 2 i.e: 3, que es reescriuen a continuació per agrupar per factoring:

# a ^ 2-4ab + 4b ^ 2 + 2a ^ 2-12ac + 18c ^ 2 = 0 #

# (a ^ 2-4ab + 4b ^ 2) +2 (a ^ 2-6ac + 9c ^ 2) = 0

# (a - 2b) ^ 2 + 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

Tenim un terme quadrat perfecte més el quadrat perfecte dues vegades d’un altre terme igual a zero, perquè això sigui cert cada terme de la suma ha de ser igual a zero, llavors:

# (a - 2b) ^ 2 = 0 # i # 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

# a-2b = 0 # i # a-3c = 0 #

# a = 2b # i # a = 3c #

així:

# a = 2b = 3c #

Per tant, es va demostrar.