Sigui f una funció contínua: a) Cerqueu f (4) si _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx per a tot x. b) Trobeu f (4) si _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx per a tot x?

Resposta:

a) #f (4) = pi / 2 #; b) #f (4) = 0 #

Explicació:

a) Diferenciar els dos costats.

A través del segon teorema fonamental de càlcul a la banda esquerra i les regles del producte i la cadena a la part dreta, veiem que la diferenciació revela que:

#f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) #

Lloguer # x = 2 # mostra això

#f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

#f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

#f (4) = pi / 2 #

b) Integrar el terme interior.

# int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) #

# t ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (pix) #

Avaluar.

# (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) #

Deixar # x = 4 #.

# (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) #

# (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #