Què és l'ortocentre d'un triangle amb cantonades a (4, 7), (9, 5) i (5, 6)?

Resposta:

#color (blau) ((5/3, -7 / 3) #

Explicació:

L'ortocentre és el punt on es reuneixen les altituds esteses d'un triangle. Aquest serà dins del triangle si el triangle és agut, fora del triangle si el triangle és obtús. En el cas del triangle en angle dret estarà al vèrtex de l'angle recte. (Els dos costats són cada altitud).

En general, és més senzill fer un esbós en brut dels punts per saber on sou.

Deixar # A = (4,7), B = (9,5), C = (5,6) #

Atès que les altituds passen per un vèrtex i són perpendiculars al costat oposat, necessitem trobar les equacions d'aquestes línies. Serà obvi a partir de la definició que només cal trobar dues d’aquestes línies. Aquests definiran un punt únic. No importa quines escolliu.

Usaré:

Línia # AB # travessant # C #

Línia #AC# travessant # B #

Per # AB #

Primer trobeu el gradient d’aquest segment de línia:

# m_1 = (6-7) / (5-4) = - 1 #

Una línia perpendicular a aquesta tindrà un gradient que és el recíproc negatiu d’aquest:

# m_2 = -1 / m_1 = -1 / (- 1) = 1

Això passa # C #. Utilitzant la forma de la inclinació del punt d'una línia:

# y-5 = 1 (x-9) #

# y = x-4

Per #AC#

# m_1 = (5-7) / (9-4) = - 2/5 #

# m_2 = -1 / (- 2/5) = 5/2

Travessant # B #

# y-6 = 5/2 (x-5) #

# y = 5 / 2x-13/2

La intersecció de #1# i #2# serà l’ortocentre:

Resoldre simultàniament:

# 5 / 2x-13/2-x + 4 = 0 => x = 5/3

Substitució de #1#:

# y = 5 / 3-4 = -7 / 3 #

Orthocenter:

#(5/3,-7/3)#

Fixeu-vos que l'ortocentre es troba fora del triangle perquè és obtús. Les línies d’altitud que passen # C # i # A # s’ha de produir en D i E per a això.