Què és l'ortocentre d'un triangle amb cantonades a (9, 7), (4, 4) i (8, 6) #?

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Anomenarem els vèrtexs # A = (4,4) #, # B = (9,7) # i # C = (8,6) #.

Hem de trobar dues equacions que són perpendiculars a dos costats i passen per dos dels vèrtexs. Es pot trobar el pendent de dos dels costats i, en conseqüència, el pendent de les dues de les línies perpendiculars.

Pendent d’AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Pendent perpendicular a això:

#-5/3#

Això ha de passar pel vèrtex C, de manera que l’equació de la línia és:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Pendent de BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Pendent perpendicular a això:

#-1#

Això ha de passar pel vèrtex A, de manera que l’equació de la línia és:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

On es creuen 1 i 2 hi ha l’ortocentre.

Resolució simultània 1 i 2:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Utilitzant 2:

# y = -17 + 8 = -9 #

Orthocenter:

#(17, -9)#

Com que el triangle és obtús, l'ortocentre es troba fora del triangle. això es pot veure si amplieu les línies d’altitud fins que es creuen.

Resposta:

Orthocentre

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Circumcenter

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Explicació:

Orthocentre

Donat # p_1, p_2, p_3 # i

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # de tal manera que

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Aquests vectors es poden obtenir fàcilment, per exemple

# p_1 = (x_1, y_1) # i # p_2 = (x_2, y_2) # i llavors

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Ara ho tenim

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Aquestes tres línies es tallen en l’ortocentre del triangle

Escollir # L_1, L_2 # tenim

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # o bé

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

donant les equacions

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Ara resolent per # lambda_1, lambda_2 # tenim

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

i llavors

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Circumcenter

L’equació de circumferència es dóna per

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

ara si # {p_1, p_2, p_3} a C # tenim

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):}

restant el primer del segon

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

restant el primer del tercer

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

donant el sistema d’equacions

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)) #

Ara, substituint els valors donats

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

S'adjunta una trama que mostra l’ortocentre (vermell) i el centre-centre (blau).