Quan feu multiplicadors de langrage per al càlcul 3 ... diguem que ja he trobat els meus punts crítics i en tinc un valor. Com sé si té un valor mínim o màxim?

Resposta:

Una possible manera és l’Hessian (2a prova derivada)

Explicació:

Normalment, per comprovar si els punts crítics són mínims o màxims, sovint s’utilitzarà la Segona prova derivada, que requereix que trobeu 4 derivades parcials, suposant #f (x, y) #:

#f _ {"xx"} (x, y) #, #f _ {"xy"} (x, y) #, #f _ {"yx"} (x, y) #, i #f _ {"yy"} (x, y) #

Tingueu en compte que si tots dos #f _ {"xy"} # i #f _ {"yx"} # són continus en una regió d’interès, seran iguals.

Un cop tingueu els 4 definits, podeu utilitzar una matriu especial denominada Hessian per trobar el determinant d'aquesta matriu (que, de manera confusa, també es coneix com Hessian), que us donarà informació sobre la naturalesa del punt. Per tant, definiu la matriu Hessiana com:

#H = | (f_ {"xx"} color (blanc) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} color (blanc) (, aa) f_ {yy}) | #

Un cop establerta aquesta matriu (i serà una matriu de "funció", ja que els continguts seran funcions de x i y), podeu prendre un dels vostres punts crítics i avaluar tot el determinant de la matriu. És a dir:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

Depenent dels resultats d'aquest càlcul, podeu aprendre la naturalesa del punt crític:

Si #H> 0 #, hi ha un mínim / màxim en aquest moment. Comproveu el signe de #f _ {"xx"} #. Si és positiu, el punt és un minut. Si és negatiu, el punt és un màx. (Això és anàleg a la segona derivada "tradicional" per a funcions de variable única de x.)

Si #H <0 #, hi ha un punt de muntatge en aquest punt.

Si #H = 0 #, la prova no és concloent i heu de confiar en altres mitjans, com ara un gràfic de la funció per determinar visualment.