Quines són les proves de divisibilitat de diversos números?

Hi ha moltes proves de divisibilitat. Aquí teniu uns quants, juntament amb com es poden derivar.

Un enter és divisible per #2# si el dígit final és igual.
Un enter és divisible per #3# si la suma dels seus dígits és divisible per 3.
Un enter és divisible per #4# si el nombre enter format pels dos últims dígits és divisible per 4.
Un enter és divisible per #5# si el dígit final és 5 o 0.
Un enter és divisible per #6# si és divisible per 2 i per 3.
Un enter és divisible per #7# si restar el doble de l’últim dígit de l’interior format eliminant l’últim dígit és un múltiple de 7.
Un enter és divisible per #8# si el nombre enter format pels últims tres dígits és divisible per 8 (això es pot fer més fàcil si s'observa que la regla és igual a la de 4 si el nombre de centenars és igual, i el contrari)
Un enter és divisible per #9# si la suma dels dígits és divisible per 9.
Un enter és divisible per #10# si l’últim dígit és #0#

Per a aquestes i més, mireu la pàgina de la wikipedia per a les regles de divisibilitat.

Ara, es pot preguntar sobre com elaborar aquestes regles, o almenys demostrar que funcionaran. Una manera de fer-ho és amb un tipus de matemàtica anomenada aritmètica modular.

En aritmètica modular, escollim un enter # n # com el mòdul i després tractar a tots els altres sencers com a ser mòdul congruent # n # a la seva resta quan es divideix per # n #. Una manera fàcil de pensar en això és que es poden afegir o restar # n # sense canviar el valor d’un enter módul n. Això és el mateix que el que, en un rellotge analògic, afegir dotze hores de resultats al mateix temps. L’addició d’hora a un rellotge és un mòdul addicional #12#.

El que fa que l’aritmètica modular sigui molt útil per determinar les regles de divisibilitat és la de cap enter # a # i sencer positiu # b #, ho podem dir # a # és divisible per # b # si i només si

# a- = 0 "(mod b)" # (# a # és congruent amb #0# mòdul # b #).

Utilitzem això per veure per què la regla de divisibilitat per a #3# obres. Ho farem utilitzant un exemple que hauria de mostrar el concepte general. En aquest exemple, veurem per què #53412# és divisible per #3#. Recordeu que s’ha afegit o restat #3# no canviarà el valor d’un nombre enter #3#.

#53412# és divisible per #3# si i només si # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Però també, perquè #10 -3 -3 -3 = 1#, tenim # 10 - = 1 "(mod 3)" #

Així:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (vermell) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

Per tant #53412# és divisible per #3#. El pas en vermell mostra el motiu pel qual simplement podem sumar els dígits i comprovar-ho en comptes de tractar de dividir el número original #3#.

Julie ha realitzat 5 proves en ciències aquest semestre.En les tres primeres proves, la seva puntuació mitjana era del 70%. En les dues últimes proves, la seva puntuació mitjana era del 90%. Quina és la mitjana de les cinc puntuacions?

78% En el càlcul de la mitjana, hi ha tres valors, el TOTAL dels números el NÚMERO de nombres és el mitjà = ("total") / ("nombre de nombres") En comparar diferents mitjans: es poden afegir els TOTALS, Els números es pot afegir, Els mitjans NO PODEN ser afegits La puntuació MEAN de 3 proves va ser de 70. El TOTAL va ser 3xx70 = 210 La puntuació MEAN de 2 proves va ser de 90. El TOTAL va ser de 2 xx 90 = 180 El TOTAL de totes les proves va ser de 210 + 180. = 390 El nombre de proves va ser de 3 + 2 = 5 mitjana = 390/5 = 78%

Marie va obtenir 95, 86 i 89 en tres proves científiques. Ella vol que la seva puntuació mitjana de 6 proves sigui almenys de 90. Quina desigualtat es pot escriure per trobar les puntuacions mitjanes que obté en les properes tres proves de can pot assolir aquest objectiu?

La desigualtat que cal resoldre és: (3t + 270) / 6> = 90. Ha de tenir una mitjana d'almenys 90 en les seves tres proves restants per tenir almenys una mitjana global de 90 per a les 6 proves. Per obtenir una mitjana, primer es sumen totes les puntuacions de les proves i després es divideixen per la quantitat de proves. Fins ara, Marie ha realitzat 3 proves i sabem que el nombre total de proves serà de 6, per la qual cosa es dividirà per 6 per obtenir la mitjana de totes les puntuacions. Si deixem que cadascuna de les tres proves restants es representin per t, la suma de totes les proves seria: 95

Quina diferència hi ha entre la resolució d’equacions de diversos passos i les desigualtats en diversos passos?

Les desigualtats són molt complicades. En resoldre una equació de diversos passos, utilitzeu PEMDAS (parèntesis, exponents, multiplicació, divisió, suma, resta), i també utilitzeu PEMDAS en resoldre una desigualtat en diversos passos. Tanmateix, les desigualtats són complicades pel fet que si multipliqueu o dividiu per un nombre negatiu, heu de donar la volta al signe. I mentre que normalment hi ha 1 o 2 solucions a una equació de diversos passos, en forma de x = #, tindreu el mateix, però amb un signe de desigualtat (o signes).