Què és l'ortocentre d'un triangle amb cantonades a (4, 7), (8, 2) i (5, 6) #?

Resposta:

Coordenades de Orthocenter #color (vermell) (O (40, 34) #

Explicació:

Pendent del segment de línia BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3

Pendent de #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Equació d’altitud que passa per A i perpendicular a BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

Pendent del segment de línia AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1

El pendent d’altitud es perpendicular a BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Equació d’altitud que passa per B i perpendicular a AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

Resoldre els Eqns (1), (2) arribem a les coordenades de l'ortocentre O

#x = 40, y = 34 #

Coordenades d’ortocentre #O (40, 34) #

Verificació:

Pendent de #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Equació d’Altitud CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

Coordenades de Orthocenter #O (40, 34) #

Resposta:

Orthocenter: #(40,34)#

Explicació:

Vaig elaborar el cas semiperal aquí. (Http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -i-2-8)

La conclusió és l’ortocentre del triangle amb vèrtexs # (a, b), # # (c, d) # i #(0,0)# és

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Provem-ho aplicant-lo a aquest triangle i comparant el resultat amb l'altra.

Primer traduïm (5, 6) a l’origen, donant els altres dos vèrtexs traduïts:

# (a, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

Apliquem la fórmula a l'espai traduït:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4)) = (35,28) #

Ara traduïm el nostre resultat:

Orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

Això coincideix amb l’altra resposta.