Com s'integren f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) utilitzant fraccions parcials?

Resposta:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Explicació:

Atès que el denominador ja es té en compte, tot el que necessitem per fer fraccions parcials és resoldre les constants:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Tingueu en compte que necessitem tant un # x # i un terme constant a la fracció més esquerra perquè el numerador sempre té un grau inferior al denominador.

Podríem multiplicar-nos pel denominador del costat esquerre, però seria una gran quantitat de treball, de manera que podem ser intel·ligents i utilitzar el mètode de cobertura.

No repassaré el procés en detall, però essencialment el que fem és esbrinar què fa que el denominador sigui igual a zero (en el cas de # C # és # x = 3 #), i connectant-lo a la banda esquerra i avaluant-lo mentre cobreix el factor corresponent a la constant, es dóna:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (text (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Podem fer el mateix amb # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (text (////)) = 35/51 #

El mètode de cobertura només funciona per a factors lineals, per la qual cosa estem obligats a resoldre el problema # A # i # B # utilitzant el mètode tradicional i multiplicant-se pel denominador del costat esquerre:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Si multiplicem per tots els parèntesis i equiparem tots els coeficients dels diferents # x # i termes constants, podem esbrinar els valors de # A # i # B #. És un càlcul bastant llarg, així que deixaré un enllaç per a qui estigui interessat:

clica aquí

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Això dóna que la nostra integral és:

35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2))

Els dos primers es poden resoldre utilitzant substitucions u més aviat simples dels denominadors:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Podem dividir la integral restant en dos:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Vaig a cridar a l’esquerra Integral 1 i la dreta Integral 2.

Integral 1

Podem resoldre aquesta integral per una substitució de u de # u = x ^ 2 + 2 #. La derivada és # 2x #, així que dividim per # 2x # integrar respecte a # u #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel·la (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integral 2

Volem que aquesta integral sigui al formulari de # tan ^ -1 #:

1/1 (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Si introduïm una substitució amb # x = sqrt2u #, podrem transformar la nostra integral en aquest formulari. Integrar respecte a # u #, hem de multiplicar per # sqrt2 # (ja que vam prendre la derivada respecte a # u # en lloc de # x #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

1 = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Completar la integral original

Ara que sabem el que és igual a Integral 1 i Integral 2, podem completar la integral original per obtenir la nostra resposta final:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #