Un cercle té un centre que cau sobre la línia y = 7 / 2x +3 i passa per (1, 2) i (8, 1). Quina és l’equació del cercle?

Resposta:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Explicació:

Punt A #(1,2)# i el punt B #(8,1)# ha de tenir la mateixa distància (un radi) del centre del cercle

Això es troba a la línia de punts (L) que són equi-distants de A i B

la fórmula per calcular la distància (d) entre dos punts (a partir de pitagòric) és # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

substituir en el que sabem per al punt A i un punt arbitrari a L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

substituir en el que sabem per al punt B i un punt arbitrari a L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Per tant

# (x-1) ^ 2 + (i-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Amplieu els claudàtors

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Simplifica

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

el punt central es troba a la línia #y = 7x - 30 # (el conjunt de punts equi-distant de A i B)

i a la línia #y = 7x / 2 + 3 # (donat)

resoldre on aquestes dues línies es creuen per trobar el centre del cercle

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

substituir amb #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

El centre del cercle està a #(66/7, 36)#

ara es pot calcular el radi quadrat del cercle

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

La fórmula general per a un cercle o radi # r # és

# (x - h) ^ 2 + (i - k) ^ 2 = r ^ 2 # amb el centre en h, k

Ara ho sabem # h #, # k # i # r ^ 2 # i pot substituir-los per l’equació general del cercle

# (x - 66/7) ^ 2 + (i - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

amplieu els claudàtors

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + i ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

i simplificar

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #