Quina és la derivada de -sin (x)?

La resposta anterior conté errors. Aquí teniu la derivació correcta.

En primer lloc, el signe menys davant d'una funció #f (x) = - sin (x) #, en prendre una derivada, canviaria el signe d’una derivada d’una funció #f (x) = sin (x) # a un contrari. Aquest és un teorema fàcil en la teoria dels límits: el límit d'una constant multiplicada per una variable és igual a aquesta constant multiplicada per un límit d'una variable. Així doncs, trobem la derivada de #f (x) = sin (x) # i multipliqueu-lo per #-1#.

Hem de començar des de la següent declaració sobre el límit de la funció trigonomètrica #f (x) = sin (x) # com el seu argument tendeix a zero:

#lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 #

La prova d'això és purament geomètrica i es basa en una definició d'una funció #sin (x) #. Hi ha molts recursos web que contenen una prova d’aquesta declaració, com The Math Page.

Usant això, podem calcular una derivada de #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Utilitzant la representació d'una diferència de # sin funciona com a producte de # sin i # cos # (vegeu Unizor, Trigonometria - Trig Sum dels Angles - Problemes 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2) #

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Per tant, derivat de #f (x) = - sin (x) # és #f '(x) = - cos (x) #.