Quina és la derivada de y = (sinx) ^ x?

Resposta:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Explicació:

Utilitzeu la diferenciació logarítmica.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Utilitzeu les propietats de # ln #)

Diferenciar implícitament: (utilitzeu la regla del producte i el combustible de cadena)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Per tant, tenim:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Resoldre per # dy / dx # multiplicant per #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Resposta:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Explicació:

La manera més senzilla de veure-ho és utilitzar:

# (sinx) ^ x = i ^ (ln ((sinx) ^ x) = e ^ (xln (sinx)) #

Prenent la derivada d’aquesta dóna:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Ara hem de tenir en compte que si # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # no està definit.

Tanmateix, quan analitzem el comportament de la funció al voltant del # x #s per a la qual cosa es manté, trobem que la funció es comporta prou bé perquè funcioni, perquè, si:

# (sinx) ^ x # s'apropa a 0

llavors:

#ln ((sinx) ^ x) # s'aproparà # -o #

tan:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # també s'aproparà a 0

A més, observem que si #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # serà un nombre complex; tanmateix, tot l’àlgebra i el càlcul que hem utilitzat treballen també en el pla complex, de manera que no és un problema.

Resposta:

Més generalment…

Explicació:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #

Què és la primera derivada i la segona derivada de 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(la primera derivada)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(la segona derivada)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(la primera derivada)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 i) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 i) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(la segona derivada)"

Quina és la segona derivada de x / (x-1) i la primera derivada de 2 / x?

Pregunta 1 Si f (x) = (g (x)) / (h (x)) llavors per la regla quocient f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Així doncs, si f (x) = x / (x-1) llavors la primera derivada f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) i la segona derivada és f '' (x) = 2x ^ -3 pregunta 2 Si f (x) = 2 / x es pot tornar a escriure com f (x) = 2x ^ -1 i utilitzar procediments estàndard per prendre la derivada f '(x) = -2x ^ -2 o, si preferiu f' (x) = - 2 / x ^ 2

Quina és la primera derivada i la segona derivada de x ^ 4 - 1?

F ^ '(x) = 4x ^ 3 f ^' '(x) = 12x ^ 2 per trobar la primera derivada simplement hem d’utilitzar tres regles: 1. Regla de poder d / dx x ^ n = nx ^ (n-1) ) 2. Regla constant d / dx (c) = 0 (on c és un enter i no una variable) 3. Regla de suma i diferència d / dx [f (x) + - g (x)] = [f ^ ' (x) + - g ^ '(x)] la primera derivada dóna com a resultat: 4x ^ 3-0 el que simplifica a 4x ^ 3 per trobar la segona derivada, hem de derivar la primera derivada aplicant de nou la regla de potència que resulta en : 12x ^ 3 podeu continuar si voleu: tercer derivat = 36x ^ 2 quart derivat = 72x cinqu&#