Com es troba l’àrea d’un paralelogram amb vèrtexs?

Resposta:

Per paral·lelogram # ABCD # la zona és

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) |

Explicació:

Suposem que el nostre paral·lelogram # ABCD # es defineix per les coordenades dels seus quatre vèrtexs: # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Per determinar l’àrea del nostre paral·lelogram, necessitem la longitud de la base # | AB | i l’altitud # | DH | del vèrtex # D # assenyalar # H # al costat # AB # (això és, #DH_ | _AB #).

En primer lloc, per simplificar la tasca, anem a desplaçar-la a una posició quan sigui el seu vèrtex # A # coincideix amb l’origen de les coordenades. L'àrea serà la mateixa, però els càlculs seran més fàcils.

Per tant, realitzarem la següent transformació de coordenades:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Aleshores el (# U, V #) les coordenades de tots els vèrtexs seran:

#A U_A = 0, V_B = 0

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A

El nostre paral·lelogram ara es defineix per dos vectors:

# p = (U_B, V_B) # i # q = (U_D, V_D) #

Determineu la longitud de la base # AB # com la longitud del vector # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

La longitud d’altitud # | DH | es pot expressar com # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

La llargada # AD # és la longitud del vector # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Angle #/_DOLENT# es pot determinar utilitzant dues expressions per al producte escalar (punt) dels vectors # p # i # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

a partir del qual

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) # #

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Ara coneixem tots els components per calcular l’àrea:

Base # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Altitud # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

La zona és el seu producte:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Pel que fa a les coordenades originals, sembla així:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) |

Resposta:

una altra discussió

Explicació:

Prova geomètrica

Tenint en compte la figura

podem establir fàcilment la fórmula per al càlcul de l’àrea d’un paral·lelogram ABCD, quan es coneixen tres vèrtexs (per exemple, A, B, D).

Com que la diagonal BD divideix el paral·lelogram en un triangle congruent.

L'àrea del paral·lelogram ABCD

= 2 àrea del triangle ABD

= 2 àrea del trapezi BAPQ + àrea de la trampa BQRD - àrea de la trampa DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + cancel·la (Y_BX_B) -cancelar (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + cancel·lar (Y_DX_D) -cancelar (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancel·la (Y_DX_D) + cancel·lar (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Aquesta fórmula donarà l’àrea del paral·lelogram.

Prova de considerar el vector

També es pot establir tenint en compte #vec (AB) # i# vec (AD) #

Ara

Vector de posició del punt A w.r, t l’origen O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Vector de posició del punt B w.r, t l’origen O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Vector de posició del punt D w.r, t l’origen O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Ara

Àrea del paral·lelogram ABCD

# = Base (AD) * Alçada (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

De nou

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Àrea = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + cancel·la (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancel·la (Y_AX_A) |

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B |

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) |

Per tant, tenim la mateixa fórmula

Quina és l'àrea d’un paralelogram amb vèrtexs (-2,1), (4,1), (3-2) i (-3-2)? Mostra el treball.

6 * 3 = 18 A = (-2, 1), B = (4, 1) Rightarrow | AB | = 6 C = (3, -2) Rightarrow | BC | ^ 2 = 1 ^ 2 + 3 ^ 2 = 10 D = (-3, -2) Rightarrow | CD | = 6, | DA | ^ 2 = 1 ^ 2 + 3 ^ 2 = 10 ABCD és realment un paralelogram de la zona de Rightarrow = | CD | * h AB: y = 1 CD: y = -2 h = dist (A, CD) = 3

Quina és l'àrea d’un paralelogram amb vèrtexs (2,5), (5, 10), (10, 15) i (7, 10)?

"Àrea del paral·lelogram" ABCD = 10 "unitats quadrades" Sabem que, color (blau) ("Si" P (x_1, y_1), Q (x_2, y_2), R (x_3, y_3) són els vèrtexs del color (blau) (triangle PQR, llavors àrea de triangle: color (blau) (Delta = 1/2 || D ||, on, color (blau) (D = | (x_1, y_1,1), (x_2, y_2 , 1), (x_3, y_3,1) | ........................ (1) Traceu el gràfic tal com es mostra a continuació. Penseu en els punts de ordre, com es mostra en el gràfic. Siguin A (2,5), B (5,10), C (10,15) i D (7,10) els vèrtexs del paral·lelograma ABCD. Sabem que "cada di

Com es troba l'àrea del rectangle amb vèrtexs A (-3,0), B (-2, -1), C (1,2), D (0,3)?

Àrea = 6 unitats quadrades Àrea = (1/2) * (x_a * y_b + x_b * y_c + x_c * y_d + x_d * y_a-x_b * y_a-x_c * y_b-x_d * y_c-x_a * y_d) Àrea = (1 / 2) * (- 3 (-1) + (- 2) (2) + (1) (3) +0 (0) - [0 (-2) + (- 1) (1) +2 (0 ) + (3 (-3]) Àrea = (1/2) * (6-4 - (10)) Àrea = 6 Teniu un bon dia !! de Filipines ...