Què és f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx si f (pi / 6) = 1?

Resposta:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Explicació:

Comencem dividint la integral en tres:

#int i ^ xcos (x) dx-int an ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int an ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Cridaré la integral integral esquerra 1 i la integral 2 correcta

Integral 1

Aquí necessitem integració per parts i un petit truc. La fórmula per a la integració per parts és:

f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

En aquest cas, ho deixaré #f (x) = e ^ x # i #g '(x) = cos (x) #. Ho aconseguim

#f '(x) = e ^ x # i #g (x) = sin (x) #.

Això fa que la nostra integral:

#int i ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Ara podem tornar a aplicar la integració per parts, però aquesta vegada amb #g '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int i ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Ara podem afegir la integral als dos costats, donant:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Primer podem utilitzar la identitat:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Això dóna:

#int an ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Ara podem utilitzar la identitat pitagòrica:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

(sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Ara podem introduir una substitució en u amb # u = cos (x) #. A continuació, dividim per la derivada, # -sin (x) # integrar respecte a # u #:

# -int (cancel·la (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x)) / / (cancel·la (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int i ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Completar la integral original

Ara que coneixem Integral 1 i Integral 2, podem tornar a connectar-los a la integral original i simplificar-los per obtenir la resposta final:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Ara que sabem l’anticipatiu, podem resoldre la constant:

#f (pi / 6) = 1

# e ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2 / 3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Això dóna que la nostra funció és:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #