Com es valora la integral de int (dt) / (t-4) ^ 2 de 1 a 5?

Resposta:

Substituïu # x = t-4 #

La resposta és, si de fet se us demana que trobeu la integral:

#-4/3#

Si busqueu la zona, no és tan senzill.

Explicació:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Conjunt:

# t-4 = x #

Per tant, el diferencial:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

I els límits:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1

Ara substituïu aquests tres valors trobats:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

NOTA: NO LLEGUE AQUÍ SI NO S’HAN ENTREGAT COM TROBAR LA ZONA. Tot i que això hauria de representar l’àrea entre els dos límits i, sempre que sigui positiva, hauria d’haver estat positiva. Tanmateix, aquesta funció és no contínua a # x = 4 # de manera que aquesta integral no representa l'àrea, si això és el que volíeu. És una mica més complicat.

Resposta:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Explicació:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d o #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Resposta:

Depenent de la quantitat d'integració que hàgiu après, la "millor" resposta serà: "la integral no està definida" (encara) o bé "la integral divergeix"

Explicació:

Quan intentem avaluar # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, hauríem de comprovar que l’integral està definit a l’interval sobre el qual estem integrant.

# 1 / (x-4) ^ 2 # no està definit a #4#, així és no definit a tot l’interval #1,5#.

Al començament de l'estudi del càlcul, definim la integral començant per

"Deixar # f # definir en interval # a, b #… '

Tan aviat com en el nostre estudi, la millor resposta és que

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# no està definit (encara?)

Posteriorment ampliem la definició a allò que s'anomena "integrals impropis"

Aquests inclouen integrals en intervals sense límits (# (- oo, b #, # a, oo) # i # (- oo, oo) #) i també els intervals en els quals l’integral té punts on no està definit.

Per (provar) avaluar # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, avaluem les dues integrals incorrectes # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Tingueu en compte que l’integral encara no s’ha definit en aquests tancat intervals.)

El mètode consisteix a substituir el punt on la variable integrada no està definida per una variable i, a continuació, prendre un límit a mesura que aquesta variable s'apropi al nombre.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Trobem primer la integral:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Cerqueu el límit com a # brarr4 ^ - #, veiem que el límit no existeix. (Com # brarr4 ^ - #, el valor de # -1 / (b-4) # augmenta sense lligat)

Per tant l’integral over #1,4# no existeix de manera que la integral s’hagi superat #1,5# no existeix.

Diem que la integral divergeix.

Nota

Alguns dirien: ara tenim un definició de la integral, simplement no hi ha cap nombre que satisfaci la definició.