La renda per càpita és de 160 vegades més gran als Estats Units que al Congo. La població per càpita creix una mitjana del 3% anual als Estats Units i del 6% anual al Congo. Quants anys prendria abans de per càpita al Congo que superés el dels Estats Units?

Resposta:

# n = registre (160) / registre (1.06 / 1.03) ~~ 176.77 # anys

Explicació:

Suposem que el Congo té ingressos per càpita #$1#, mentre que els Estats Units tenen #160# vegades major de #$160# (per simplificar el càlcul, també ho farien tots els altres valors).

Creix la renda per càpita del Congo #6%# per any. Així, l’any que ve seria així #$1*1.06=$1.06#, i l’any després d’aquesta #$1*1.06*1.06=$1*1.06^2#. Després # n # anys, l’ingrés per càpita s’elevaria # $ 1 * 1,06 ^ n #.

De la mateixa manera, els ingressos per càpita dels EUA augmentarien # $ 160 * 1,03 ^ n # després # n # anys.

L’ingrés per càpita del Congo superava el dels Estats Units quan

# 1.06 ^ n = 160 * 1.03 ^ n #

# 160 = 1.06 ^ n / 1.03 ^ n = (1.06 / 1.03) ^ n #

Prengui el logaritme dels dos costats:

#log (160) = log ((1.06 / 1.03) ^ n) = nlog (1.06 / 1.03) #

on fem servir el fet que #log (a ^ b) = bloc (a) # al costat dret.

Així, # n = registre (160) / registre (1.06 / 1.03) ~~ 176.77 # anys.