Els enters positius de 1 a 45, inclosos, es col·loquen en 5 grups de 9 cadascun. Quina és la mitjana més alta possible de les medianes d'aquests 5 grups?

Resposta:

31

Explicació:

Primer, un parell de definicions:

Mediana és el valor mig d’un grup de nombres.

Mitjana és la suma d'un grup de nombres dividit pel nombre de números.

En treballar a través d’aquest fet, queda clar que l’objectiu d’aquest exercici és augmentar les diferents mitjanes. Llavors, com fem això? L'objectiu és organitzar els conjunts de números de manera que tinguem els valors mitjans de cada conjunt el més alt possible.

Per exemple, la mitjana més alta possible és 41 amb els nombres 42, 43, 44 i 45 superiors a ella i algun grup de quatre nombres és menor que ell. El nostre primer conjunt, doncs, consisteix en (amb aquells números superiors a la mediana en verd, la mediana mateixa en blau i els següents en vermell):

#color (verd) (45, 44, 43, 42), color (blau) (41), color (vermell) (x_1, x_2, x_3, x_4) #

Què és, doncs, la següent mitjana més alta? Hi ha d’haver cinc números possibles entre la mitjana més alta i la següent (quatre per als nombres superiors a la mitjana i després la mediana), de manera que ens posem a #41-5=36#

#color (verd) (40, 39, 38, 37), color (blau) (36), color (vermell) (x_5, x_6, x_7, x_8) #

Podem tornar a fer això:

#color (verd) (35, 34, 33, 32), color (blau) (31), color (vermell) (x_9, x_10, x_11, x_12) #

I un altre cop:

#color (verd) (30, 29, 28, 27), color (blau) (26), color (vermell) (x_13, x_14, x_15, x_16) #

I una darrera vegada:

#color (verd) (25, 24, 23, 22), color (blau) (21), color (vermell) (x_17, x_18, x_19, x_20) #

I resulta que els subíndexs de la # x # els valors poden ser els actuals # x # valors, però no cal que ho siguin. Són, en aquest moment, intercanviables.

La mitjana d'aquestes medianes és:

#(41+36+31+26+21)/5=31#