La relació comuna d'una progressió ggeomètrica és r el primer terme de la progressió és (r ^ 2-3r + 2) i la suma de l'infinit és S Mostra que S = 2-r (tinc) Trobeu el conjunt de valors possibles que S pot prendre?

Resposta:

# S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Des de # | r | <1 # obtenim # 1 <S <3 #

Explicació:

Tenim

# S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

La suma general d’una sèrie geomètrica infinita és

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

En el nostre cas, #S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Les sèries geomètriques només convergeixen quan # | r | <1 #, així ho aconseguim

# 1 <S <3 #

Resposta:

#color (blau) (1 <S <3) #

Explicació:

# ar ^ (n-1) #

On? # bbr # és la relació comuna, # bba # és el primer terme i # bbn # és el tercer terme.

Se'ns diu que la ràtio comuna és # r #

El primer terme és # (r ^ 2-3r + 2) #

La suma d’una sèrie geomètrica s’ofereix com:

#a ((1-r ^ n) / (1-r)) #

Per a la suma a l'infinit això simplifica a:

# a / (1-r) #

Se'ns diu que aquesta suma és S.

Substituint els nostres valors per a i r:

# (r ^ 2-3r + 2) / (1-r) = S #

Factor del numerador:

# ((r-1) (r-2)) / (1-r) = S #

Multipliqueu el numerador i el denominador per #-1#

# ((r-1) (2-r)) / (r-1) = S #

Cancel·lació:

# (cancel·la ((r-1)) (2-r)) / (cancel·la ((1-r))) = S

# S = 2-r #

Per trobar els valors possibles recordem que una sèrie geomètrica només té una suma a l'infinit si # -1 <r <1 #

# 2-1 <2 -r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

és a dir.

# 1 <S <3 #