Què és la derivada de x ^ x?

Resposta:

# dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #

Explicació:

Tenim:

# y = x ^ x # Agafem el registre natural de tots dos costats.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Utilitzant el fet que #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => ln (i) = xln (x) # Aplica # d / dx # a ambdós costats.

# => d / dx (ln (i)) = d / dx (xln (x)) #

La regla de la cadena:

Si #f (x) = g (h (x)) #, llavors #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Regla de poder:

# d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # si # n # és una constant.

A més, # d / dx (lnx) = 1 / x #

Finalment, la regla del producte:

Si #f (x) = g (x) * h (x) #, llavors #f '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

Tenim:

# => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) #

# => dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / cancelx #

(No us preocupeu quan # x = 0 #, perquè #ln (0) # no està definit)

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => dy / dx = y (ln (x) +1) #

Ara, des de # y = x ^ x #, podem substituir # y #.

# => dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #