Quina és la derivada de x ^ n?

Per a la funció #f (x) = x ^ n #, n hauria de fer-ho no igual a 0, per raons que quedaran clares. n també ha de ser un nombre enter o un nombre racional (és a dir, una fracció).

La regla és:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

En altres paraules, "demanem prestat" la potència de x i el converteixen en el coeficient de la derivada, i després restem 1 de la potència.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Com he esmentat, el cas especial és on n = 0. Això significa que

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Podem utilitzar la nostra regla i tècnicament obtenir la resposta correcta:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

No obstant això, més endavant en la pista, ens tocarem complicacions quan intentem utilitzar la inversa d'aquesta regla.

Resposta:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

A continuació es mostren les proves per a tots els nombres, però només la prova de tots els enters s’utilitza el coneixement bàsic de la definició de derivats. La prova de tots els racionals utilitza la regla de la cadena i per a irracionals utilitzem la diferenciació implícita.

Explicació:

Dit això, els mostraré a tots aquí, perquè pugueu entendre el procés. Aneu amb compte #voluntat# ser bastant llarg.

Des de #y = x ^ (n) #, si #n = 0 # tenim #y = 1 # i la derivada d'una constant és també zero.

Si # n # és qualsevol altre enter positiu que puguem llançar a la fórmula derivada i utilitzar el teorema binomial per resoldre el desordre.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

On? # K_i # és la constant adequada

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Dividir-ho # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Podem contractar el primer termini de la suma

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Prenent el límit, tota la resta encara a la suma va a zero. Càlcul # K_1 # veiem que és igual # n #, tan

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Per # n # que són nombres enters negatius, és una mica més complicat. Saber això # x ^ -n = 1 / x ^ b #, de tal manera que #b = -n # i, per tant, és positiu.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b))

Treu el primer terme

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Prengui el límit, On # K_1 = b #, que substitueix això # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Per als racionals, cal utilitzar la regla de la cadena. I.e.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Així, sabent això # x ^ (1 / n) = arrel (n) (x) # i assumint #n = 1 / b # tenim

# (x ^ n) ^ b = x #

Si # b # és uniforme, la resposta és tècnicament # | x | # però això és prou proper per als nostres propòsits

Així, utilitzant la regla de la cadena que tenim

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

I per últim, però no per això menys important, mitjançant la diferenciació implícita, podem demostrar tots els nombres reals, incloses les irracionals.

#y = x ^ n #

#ln (i) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #