Què és la integral de (ln (xe ^ x)) / x?

Resposta:

# #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Explicació:

Ens donen:

# #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Utilitzant #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (i ^ x)) / (x) dx #

Utilitzant #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Utilitzant #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Divisió de la fracció (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Separació de les integrals sumades:

# = int # #ln (x) / xdx +

La segona integral és simplement #x + C #, on? # C # és una constant arbitrària. Utilitzem la primera integral # u #-substitució:

Deixar #u equiv ln (x) #, per tant #du = 1 / x dx #

Utilitzant # u #-substitució:

# = int udu + x + C #

Integració (la constant arbitrària # C # pot absorbir la constant arbitrària de la primera integral indefinida:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Substituir l’enllaç en termes de # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Resposta:

#intn (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Explicació:

Comencem utilitzant la següent identitat de logaritme:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Aplicant això a la integral, obtenim:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int a l (x) / x + x / x dx = int l (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Per avaluar la integral restant, utilitzem la integració per parts:

f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Vaig a deixar #f (x) = ln (x) # i #g '(x) = 1 / x #. A continuació, podem calcular:

#f '(x) = 1 / x # i #g (x) = ln (x) #

A continuació, podem aplicar la fórmula d’integració per parts per obtenir:

#intn (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int l (x) / x dx #

Com que tenim la integral a banda i banda del signe igual, podem resoldre-la com una equació:

# 2int l (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int (n) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Tornant a connectar amb l’expressió original, obtenim la nostra resposta final:

#intn (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #