Com puc simplificar el pecat (arccos (sqrt (2) / 2) -arcsin (2x))?

Resposta:

aconseguit #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) ## = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #

Explicació:

Tenim el sinus d'una diferència, de manera que el primer pas serà la fórmula de l'angle de diferència, #sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b #

#sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = sin arccos (sqrt {2} / 2) cos arcsin (2x) + cos arccos (sqrt {2} / 2) sin arcsin (2x) #

Bé, el si d’arcsina i el cosinus d’arccosina són fàcils, però què passa amb els altres? Bé, reconeixem #arccos (sqrt {2} / 2) # com 45 h ^ circ #, tan

#sin arccos (sqrt {2} / 2) = pm sqrt {2} / 2 #

Vaig a deixar el # pm # allà; Intento seguir la convenció que arccos és tot cosinus invers, contra Arccos, el valor principal.

Si sabem que el sinus d'un angle és # 2x #, això és un costat de # 2x # i una hipotenusa de #1# així que l’altra cara és # sqrt {1-4x ^ 2} #.

# cos arcsin (2x) = pm sqrt {1-4x ^ 2} #

Ara, #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = pm sqrt {2} / 2 sqrt {1-4x ^ 2} + (sqrt {2} / 2) (2x) #

# = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #