Què és un vector propi? + Exemple

Resposta:

Si és vector # v # i transformació lineal d’un espai vectorial # A # són tals que #A (v) = k * v # (on és constant # k # es diu valor propi), # v # es diu an vector propi de transformació lineal # A #.

Explicació:

Imagineu una transformació lineal # A # d’estirar tots els vectors per un factor de #2# en l’espai tridimensional. Qualsevol vector # v # Es transformaria en # 2v #. Per tant, per a aquesta transformació tots els vectors són vectors propis amb valor propi de #2#.

Considereu una rotació d’un espai tridimensional al voltant de l’eix Z per un angle de # 90 ^ o #. Bviament, tots els vectors, excepte els de l'eix Z, canviaran la direcció i, per tant, no poden ser vectors propis. Però aquests vectors al llarg de l'eix Z (les seves coordenades són de la forma # 0,0, z #) conservarà la seva direcció i longitud, per tant, són vectors propis amb valor propi de #1#.

Finalment, considerem una rotació per # 180 ^ o # en un espai tridimensional al voltant de l'eix Z. Com abans, tots els vectors de l'eix Z llarg no canviaran, de manera que ho són vectors propis amb valor propi de #1#.

A més, tots els vectors en el pla XY (les seves coordenades són de la forma # x, y, 0 #) canviarà la direcció cap a l’altra, mantenint la longitud. Per tant, també ho són vectors propis amb valors propis de #-1#.

Qualsevol transformació lineal d'un espai vectorial es pot expressar com a multiplicació d'un vector per una matriu. Per exemple, el primer exemple d'estirament es descriu com a multiplicació per una matriu # A #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Aquesta matriu, multiplicada per qualsevol vector # v = {x, y, z} # produirà # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Evidentment, això és igual a # 2 * v #. Per tant, ho tenim

# A * v = 2 * v #, que demostra que qualsevol vector # v # és un vector propi amb un valor propi #2#.

El segon exemple (rotació per # 90 ^ o # al voltant de l'eix Z) es pot descriure com a multiplicació per una matriu # A #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Aquesta matriu, multiplicada per qualsevol vector # v = {x, y, z} # produirà # A * v = {- y, x, z}, que pot tenir la mateixa direcció que el vector original # v = {x, y, z} # només si # x = y = 0 #, és a dir, si el vector original està dirigit al llarg de l’eix Z.