En quins intervals la següent equació és còncava cap amunt, còncava cap avall i on és el punt d'inflexió (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Resposta:

• si # 0 <x <i ^ (- 15/56) # llavors # f # és còncau cap avall;
• si #x> e ^ (- 15/56) # llavors # f # és còncau cap amunt;
• # x = i ^ (- 15/56) # és un punt d’inflexió (caient)

Explicació:

Analitzar els punts de concavitat i d'inflexió d'una funció dues vegades diferenciable # f #, podem estudiar la positivitat de la segona derivada. De fet, si # x_0 # és un punt en el domini de # f #, llavors:

• si #f '' (x_0)> 0 #, llavors # f # és còncau cap amunt en un barri de # x_0 #;
• si #f '' (x_0) <0 #, llavors # f # és còncau cap avall en un barri de # x_0 #;
• si #f '' (x_0) = 0 # i el signe de #f '' # en un veïnatge de dreta bastant petit # x_0 # és contrari al signe de #f '' # en un barri esquerra suficientment petit de # x_0 #, llavors # x = x_0 # es diu an punt d’inflexió de # f #.

En el cas concret de #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, tenim una funció que ha de restringir el domini als reals positius #RR ^ + #.

La primera derivada és

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

La segona derivada és

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Anem a estudiar la positivitat de #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Per tant, tenint en compte que el domini és #RR ^ + #, ho aconseguim

• si # 0 <x <i ^ (- 15/56) # llavors #f '' (x) <0 # i # f # és còncau cap avall;
• si #x> e ^ (- 15/56) # llavors #f '' (x)> 0 # i # f # és còncau cap amunt;
• si # x = i ^ (- 15/56) # llavors #f '' (x) = 0 #. Tenint en compte això a l’esquerra d’aquest punt #f '' # és negatiu i, a la dreta, és positiu, conclouem això # x = i ^ (- 15/56) # és un punt d’inflexió (caient)