Demostreu que la cistella 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Costat dret:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = cot x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Costat esquerre:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = cot (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

Són iguals #quad sqrt #

Resposta:

Fórmula de factor (identitats de suma a producte i producte a suma)

Explicació:

Per a aquesta pregunta, podem utilitzar el Sumari al producte i Producte-a-suma identitats.

Sóc mandrós, així que aquí teniu una imatge de les identitats.

La fórmula de producte a suma anterior es pot derivar mitjançant identitats d'angle compost.

Utilitzar la substitució #alpha = a + b # i #beta = a - b #, podem obtenir les següents fórmules producte-suma.

Així doncs, ara que tenim això resolt, apliquem les nostres fórmules.

#cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = cot (x) (sin (4x + x) - sin (4x - x)) = cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) #

Alternativament, també podeu aplicar la fórmula de suma a producte a la part dreta:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS. #

# QED #