Quina és l'arrel de 97?

Resposta:

#sqrt (97) ~~ 9.8488578 #

Explicació:

Des de #97# és un nombre primer, no conté factors quadrats més grans que #1#. Com a resultat #sqrt (97) # no és simplificable i és irracional.

Des de #97# és una mica menys de #100 = 10^2#, #sqrt (97) # és una mica menys de #10#.

De fet #sqrt (97) ~~ 9.8488578 #

#color (blanc) () #

Bonificació

Un esbós ràpid d'una prova #sqrt (97) # no és expressible en la forma # p / q # per a alguns enters #p, q # va així …

#color (blanc) () #

Suposem #sqrt (97) = p / q # per a alguns enters #p> q> 0 #.

Sense pèrdua de generalitat, anem #p, q # ser el parell més petit d'aquests enters.

Llavors tenim:

# 97 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Multiplicant els dos costats per # q ^ 2 # obtenim:

# 97 q ^ 2 = p ^ 2 #

El costat esquerre és un enter enter divisible per #97#, tan # p ^ 2 # és divisible per #97#.

Des de #97# és primer, això significa que # p # ha de ser divisible per #97#, diguem #p = 97r # per a alguns sencers # r #.

Tan:

# 97 q ^ 2 = p ^ 2 = (97 r) ^ 2 = 97 ^ 2 r ^ 2 #

Divideix els dos extrems per # 97r ^ 2 # aconseguir:

# q ^ 2 / r ^ 2 = 97 #

Per tant: #sqrt (97) = q / r #

Ara #p> q> r> 0 #.

Tan #q, r # és un parell més petit d'enters amb quocient #sqrt (97) #, contradient la nostra hipòtesi. Així doncs, la hipòtesi és falsa. No hi ha cap parell de enters #p, q # amb #sqrt (97) = p / q #.

Quina és la forma simplificada de l'arrel quadrada de l'arrel quadrada de 10 de 5 sobre l'arrel quadrada de 10 + arrel quadrada de 5?

(sqrt (10) -sqrt (5)) / (sqrt (10) + sqrt (5) = 3-2sqrt (2) (sqrt (10) -sqrt (5)) / (sqrt (10) + sqrt (5) ) color (blanc) ("XXX") = cancel (sqrt (5)) / cancel (sqrt (5)) * (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) +1) color (blanc) (") XXX ") = (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) +1) * (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) -1) color (blanc) (" XXX ") = ( sqrt (2) -1) ^ 2 / ((sqrt (2) ^ 2-1 ^ 2) color (blanc) ("XXX") = (2-2sqrt2 + 1) / (2-1) color (blanc) ("XXX") = 3-2sqrt (2)

Quina és l'arrel quadrada de 3 + l'arrel quadrada de 72 - l'arrel quadrada de 128 + l'arrel quadrada de 108?

7sqrt (3) - 2sqrt (2) sqrt (3) + sqrt (72) - sqrt (128) + sqrt (108) Sabem que 108 = 9 * 12 = 3 ^ 3 * 2 ^ 2, de manera que sqrt (108) = sqrt (3 ^ 3 * 2 ^ 2) = 6sqrt (3) sqrt (3) + sqrt (72) - sqrt (128) + 6sqrt (3) Sabem que 72 = 9 * 8 = 3 ^ 2 * 2 ^ 3, de manera que sqrt (72) = sqrt (3 ^ 2 * 2 ^ 3) = 6sqrt (2) sqrt (3) + 6sqrt (2) - sqrt (128) + 6sqrt (3) Sabem que 128 = 2 ^ 7 , per tant sqrt (128) = sqrt (2 ^ 6 * 2) = 8sqrt (2) sqrt (3) + 6sqrt (2) - 8sqrt (2) + 6sqrt (3) Simplificació de 7sqrt (3) - 2sqrt (2)

Quina és l'arrel quadrada de 7 + arrel quadrada de 7 ^ 2 + arrel quadrada de 7 ^ 3 + arrel quadrada de 7 ^ 4 + arrel quadrada de 7 ^ 5?

Sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) El primer que podem fer és cancel·lar les arrels amb les potències parells. Des de: sqrt (x ^ 2) = x i sqrt (x ^ 4) = x ^ 2 per a qualsevol nombre, podem dir que sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + sqrt (7 ^ 3) + 49 + sqrt (7 ^ 5) Ara, 7 ^ 3 poden ser reescrits com 7 ^ 2 * 7, i que 7 ^ 2 pot sortir de l’arrel! El mateix s'aplica a 7 ^ 5 però es reescriu com 7 ^ 4 * 7 sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + 7sqrt (7) + 49 + 49sqrt (7) Ara