Quina és la probabilitat de guanyar en el següent joc infinitament repetit?

Resposta:

# "Resposta D)" # #

Explicació:

# "És l’única resposta lògica, les altres són impossibles".

# "Aquest és el problema de la ruïna del jugador".

# "Un jugador comença amb k dòlar".

# "Juga fins que arriba al dòlar G o cau de nou a 0."

#p = "possibilitat que guanyi 1 dòlar en un sol joc".

#q = 1 - p = "possibilitat que perd un dòlar en un sol joc".

# "Truqui" r_k "a la probabilitat (casualitat) que es vegi arruïnat." #

# "Llavors tenim" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "amb" 1 <= k <= G-1

# "Podem reescriure aquesta equació a causa de p + q = 1 de la següent manera:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Ara tenim el cas" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Per" r_k "tenim" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Així, el jugador A comença aquí amb k = un dòlar i juga fins que" #

# "es arruïna o té un dòlar + b".

# => k = a, "i" G = a + b #

# "Per tant, les probabilitats que s’arruïnin"

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Les probabilitats que guanyi són" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Resposta D)" #