Si una pedra cau a una altitud de 174,9 m d'un helicòpter que puja amb una velocitat de 20,68 m / s, quant durà la pedra per arribar al sòl?

Resposta:

8,45 segons.

Explicació:

La direcció de 'g' quan es parla d’acceleració depèn del sistema de coordenades que definim. Per exemple, si es definís cap avall com a "y" positiu, llavors g seria positiu. La convenció ha de portar cap amunt com a positiva, de manera que g serà negativa. Això és el que farem servir, també fem el terreny #y = 0 #

#color (vermell) ("EDIT:") # He afegit un enfocament utilitzant les equacions cinemàtiques que apreneu a la part inferior. Tot el que he fet aquí és derivar-los amb el càlcul, però agraeixo que potser no ho heu cobert.Desplaceu-vos fins al títol vermell per a l’aproximació sense càlcul.

Podem mirar això molt més de prop partint de zero amb la segona llei de Newton. Quan es deixa caure la pedra, té una velocitat inicial, però l'única força que actua sobre ella es deu a la gravetat. Hem definit cap amunt com a direcció positiva, per la qual cosa podem escriure la segona llei de Newton

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Això es deu al fet que la pedra s'accelerarà cap a la terra, que hem definit com la direcció negativa.

Integrar aquesta expressió dóna:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # és la velocitat de la pedra, de manera que quan apliquem la velocitat inicial a #y '(0) = + 20,68 # arribem a

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Això modela la velocitat i té sentit si ho penses. Quan s’alliberi, tindrà la mateixa velocitat que l’helicòpter i, per tant, es desplaçarà cap amunt durant un temps, però a mesura que el temps avança es detindrà i començarà a caure.

Per trobar el desplaçament, integrem de nou:

#y (t) = 20,68 t - 1/2 g t ^ 2 + C

Aplica la condició inicial #y (0) = 174,9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

#therefore y (t) = 20,68 t - 1/2 g t ^ 2 + 174,9 #

Per solucionar el temps per arribar a terra, estableixi # y = 0 # i soluciona el quadràtic:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68 t - 174,9 = 0

Això és definitivament un treball per a la fórmula quadràtica:

#t = (20.68 + -sqrt (20.68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174.9))) / g #

Presa #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8,45 o -4,23 #

Descartem la solució negativa, de manera que la pedra triga 8,45 segons per arribar a terra.

#color (vermell) ("Cap enfocament de càlcul") #

Ho sabem #v = v_0 + a # on # v # és la velocitat final, # v_0 # és la velocitat inicial, # a # és acceleració i # t # és el temps que es demana.

Com he dit anteriorment, amb un sistema de coordenades ascendent # g # serà negatiu, però la pedra es mourà inicialment a causa de la seva velocitat inicial. Volem trobar el punt en què deixa de moure cap amunt:

Conjunt #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20,68 / 9,8 #

Utilitzeu ara

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # de nou amb #a = -g #

tan #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20.68) ^ 2 / 9.8 - (20.68 ^ 2) / (2 * 9.8) #

#S = 21.8m

Això vol dir que la pedra es deté momentàniament #y = 174,9 + 21,8 #

#y = 196,7 m #

Ara no tenim velocitats inicials molestes per enfrontar-se, només una caiguda recta d’aquesta alçada:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Com que cap amunt és positiu, la caiguda donarà lloc a un desplaçament negatiu

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8,45 # segons sigui necessari.

Resposta:

8.45

Explicació:

L’helicòpter s’aconsegueix amb una velocitat # u = 20,68 m / s # Per tant, la pedra que es va deixar caure tindrà la mateixa velocitat inicial que la velocitat ascendent de l’helicòpter, però la força gravitacional descendent li proporcionarà una acceleració descendent (g).

Tenint en compte el fet de deixar caure la pedra d’un helicòpter com a origen, procedim de la següent manera

Si cap amunt prendre la velocitat inicial positiu llavors acceleració descendent (g) s’ha de prendre com negatiu i desplaçament de baixada (h) també s’ha de tenir en compte negatiu.

#color (vermell) ("Aquí cap amunt + ve i cap avall -ve") #

Ara calcula el temps (t) d’arribar a terra

Així ho tenim

# u = + 20,68 m / s #

# g = -9.8m / s ^ 2 #

# h = -174.9m #

#t =? # #

Inserir-los en l’equació del moviment sota gravetat (que inclou les variables h, u, g, t) obtenim

# h = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174.9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0

# => t = (20,68 + sqrt ((- 20.68) ^ 2-4 * 4.9 * (- 174.9))) / (2 * 4.9) #

#:. t = 8.45s #

S'obtindrà la mateixa equació (1) si invertim la direcció#color (vermell) ("i.e.upward - ive i down + ive.") #