Quin és el significat de la frase matriu invertible?

La resposta curta és que en un sistema d'equacions lineals si la matriu del coeficient és invertible, llavors la vostra solució és única, és a dir, teniu una solució.

Hi ha moltes propietats d’una matriu invertible a la llista aquí, de manera que haureu d’observar el teorema de la matriu inversible. Perquè una matriu sigui invertible, ha de ser quadrat, és a dir, té el mateix nombre de files que columnes.

En general, és més important saber que una matriu és invertible, en lloc de produir realment una matriu invertible perquè és més computacionalment la despesa per calcular la matriu invertible en comparació amb la solució del sistema. Es computaria una matriu inversa si resolia moltes solucions.

Suposem que teniu aquest sistema d’equacions lineals:

# 2x + 1.25y = b_1 #

# 2.5x + 1.5y = b_2 #

i heu de resoldre # (x, y) # per als parells de constants: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#. Sembla molt treball! En forma de matriu, aquest sistema sembla:

# Ax = b #

on # A # és la matriu de coeficients, # x # és el vector # (x, y) # i # b # és el vector # (b_1, b_2) #. Podem resoldre'ls # x # amb algun àlgebra de matriu:

# x = A ^ (- 1) b #

on #A ^ (- 1) # és la matriu inversa. Hi ha diferents maneres de calcular la matriu inversa, de manera que no entraré en això ara.

#A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Perquè per obtenir les solucions, tenim:

# -12 * 119.75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119.75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76,5 + 10 * 94,5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76,5-16 * 94,5 = 18 = y_2 #

# -12 * 152.75 + 10 * 188.5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152.75-16 * 188.5 = 39 = y_3 #

Ara, no és més fàcil que resoldre 3 sistemes?

La matriu donada és invertible? primera fila (-1 0 0) segona fila (0 2 0) tercera fila (0 0 1/3)

Sí, és perquè El determinant de la matriu no és igual a zero, la Matriu és invertible. En realitat, el determinant de la matriu és det (A) = (- 1) (2) (1/3) = - 2/3

Sigui [(x_ (11), x_ (12)), (x_21, x_22)] definir-se com un objecte anomenat matriu. El determinant d’una matriu es defineix com [(x_ (11) xxx_ (22)) - (x_21, x_12)]. Ara, si M [(- 1,2), (-3, -5)] i N = [(- 6,4), (2, -4)] quin és el determinant de M + N i MxxN?

El determinant de és M + N = 69 i el de MXN = 200ko També cal definir la suma i el producte de les matrius. Però aquí se suposa que són igual que els llibres de text de la matriu 2xx2. M + N = [(- 1,2), (- 3, -5)] + [(- 6,4), (2, -4)] = [(- 7,6), (- 1, - 9)] Per tant, el seu determinant és (-7xx-9) - (- 1xx6) = 63 + 6 = 69 MXN = [(((- 1) xx (-6) + 2xx2), ((- 1) xx4 + 2xx (-4))), (((- 1) xx2 + (- 3) xx (-4)), ((- 3) xx4 + (- 5) xx (-4)))] = = ((10, -12 ), (10,8)] Per tant, deeminant de MXN = (10xx8 - (- 12) xx10) = 200

Quin és l'espai nul d'una matriu invertible?

{subratllat (0)} Si una matriu M és invertible, llavors l'únic punt que mapa a subratllar (0) per multiplicació és subratllat (0). Per exemple, si M és una matriu inversa 3xx3 amb inversió M ^ (- 1) i: M ((x), (y), (z)) = ((0), (0), (0)) llavors: ((x), (y), (z)) = M ^ (- 1) M ((x), (y), (z)) = M ^ (- 1) ((0), (0), (0)) = ((0), (0), (0)) Així, l’espai nul de M és el subespai 0-dimensional que conté el punt únic ((0), (0), (0)).