Demostrar que el conjunt de potència és un camp?

Resposta:

El conjunt de potències d’un conjunt és un anell commutatiu sota les operacions naturals d’unió i intersecció, però no un camp sota aquestes operacions, ja que no té elements inversos.

Explicació:

Donat qualsevol conjunt # S #, considereu el conjunt de potències # 2 ^ S # de # S #.

Això té operacions naturals d’unió # uu # que es comporta com a addició, amb una identitat # O / # i intersecció # nn # que es comporta com a multiplicació amb una identitat # S #.

Més detalladament:

• # 2 ^ S # està tancat sota # uu #

  Si #A, B a 2 ^ S # llavors #Auu B a 2 ^ S #

• Hi ha una identitat # O / en 2 ^ S # per # uu #

  Si #A a 2 ^ S # llavors #A uu O / = O / uu A = A #

• # uu # és associatiu

  Si #A, B, C en 2 ^ S # llavors # A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # uu # és commutatiu

  Si #A, B a 2 ^ S # llavors #Auu B = B uu A #

• # 2 ^ S # està tancat sota # nn #

  Si #A, B a 2 ^ S # llavors #A nn B a 2 ^ S #

• Hi ha una identitat #S en 2 ^ S # per # nn #

  Si #A a 2 ^ S # llavors #A nn S = S nn A = A #

• # nn # és associatiu

  Si #A, B, C en 2 ^ S # llavors #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # nn # és commutatiu

  Si #A, B a 2 ^ S # llavors #A nn B = B nn A #

• # nn # es distribueix a l’esquerra i a la dreta # uu #

  Si #A, B a 2 ^ S # llavors #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  i # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Tan # 2 ^ S # satisfà tots els axiomes necessaris per ser un anell commutatiu amb addició # uu # i multiplicació # nn #.

Si #S = O / # llavors # 2 ^ S # té un element, és a dir # O / #, per tant, no té diferents identitats additives i multiplicatives i, per tant, no és un camp.

En cas contrari, tingueu en compte que # S # no té cap invers a sota # uu # i # O / # no té cap invers a sota # nn #. Tan # 2 ^ S # no forma un camp a causa de la manca d’elements inversos.