Mostrar que 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), per a n> 1?

Resposta:

Baix

Explicació:

Per demostrar que la desigualtat és certa, utilitzeu la inducció matemàtica

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # per #n> 1 #

Pas 1: prova veritable per # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Des de # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, llavors #LHS> RHS #. Per tant, és cert per a # n = 2 #

Pas 2: Suposeu que és cert # n = k # on k és un enter i #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Pas 3: Quan # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

és a dir # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # de (1) per assumpció

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Des de #k> 1 #, llavors # -1 / sqrt (k + 1) <0 # i des de llavors # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, llavors # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # tan # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Pas 4: Per provar la inducció matemàtica, aquesta desigualtat és vàlida per a tots els enters # n # més gran que #1#

La desigualtat com es diu és falsa.

Per exemple, per a #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (aproximadament 2,3) cancel·la (> =) la zona inferior (sqrt2 (3-1))

Una contradicció.