Mart té una temperatura superficial mitjana d’uns 200K. Plutó té una temperatura superficial mitjana d’uns 40K. Quin planeta emet més energia per metre quadrat de superfície per segon? Per un factor de quant?

Resposta:

Mart emet #625# vegades més energia per unitat de superfície que Plutó.

Explicació:

És obvi que un objecte més calent emetrà més radiació del cos negre. Per tant, ja sabem que Mart emetrà més energia que Plutó. L’única pregunta és quant.

Aquest problema requereix avaluar l’energia de la radiació del cos negre emesa pels dos planetes. Aquesta energia es descriu en funció de la temperatura i de la freqüència emesa:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

La integració de la freqüència de sobre proporciona la potència total per unitat d’àrea en funció de la temperatura:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(Tingueu en compte que l’equació anterior s’utilitza # barh #, la constant de Planck reduïda, en lloc de # h #. És difícil de llegir en la notació socràtica)

Resoldre la relació entre els dos, doncs, el resultat és increïblement senzill. Si # T_p # és la temperatura de Plutó i # T_m # és la temperatura de Mart aleshores el factor # a # es pot calcular amb:

# (pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # vegades més