Si 3x ^ 2-4x + 1 té zeros alfa i beta, llavors quin quadràtic té zeros alpha ^ 2 / beta i beta ^ 2 / alpha?

Resposta:

Cerca # alfa # i # beta # primer.

Explicació:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Els factors del costat esquerre, de manera que tenim

# (3x - 1) (x - 1) = 0.

Sense pèrdua de generalitat, les arrels són #alpha = 1 # i #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # i #(1/3)^2/1= 1/9#.

Un polinomi amb coeficients racionals que tenen aquestes arrels és

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Si volem coeficients sencers, multipliquem per 9 per obtenir:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Podem multiplicar-ho si volem:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

NOTA: Més generalment, podem escriure

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x ^ 2 - ((alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabeta)) x + alfabeta #

Resposta:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Explicació:

Tingues en compte que:

# (x-alfa) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + beta alfa

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alpha ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alfa) x + (alpha ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / alfa) #

#color (blanc) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfa beta) x + beta alfa

#color (blanc) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ - ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) x + beta alfa

En el nostre exemple, dividint # 3x ^ 2-4x + 1 # per #3# tenim:

# {(alpha + beta = 4/3), (alpha beta = 1/3):}

Tan:

# ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Per tant, es pot escriure el polinomi desitjat:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Multiplicar per #9# per obtenir coeficients sencers:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Resposta:

Solució proposada a continuació;

Explicació:

# 3x²-4x + 1 #

Nota: # a # és alfa, # b # és beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Per formar una equació trobem la suma i els productes de les arrels.

Per a la suma

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Però; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Per tant;

# ((a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Per tant, substituïm els valors.

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Per tant, la suma és #28/9#

Per a productes

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Per tant, el producte és #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Multiplicant per #9#

Espero que això ajudi!