Com demostrar que la sèrie convergeix?

Resposta:

Converteix mitjançant la prova de comparació directa.

Explicació:

Podem utilitzar la prova de comparació directa, fins al moment

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, la sèrie comença en un.

Per utilitzar la prova de comparació directa, hem de demostrar-ho # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # és positiu # 1, oo) #.

Primer, tingueu en compte que en l’interval # 1, oo), cos (1 / k) # és positiu. Per a valors de #x # cosx # està al primer quadrant (i per tant positiu). Bé, per #k> = 1, 1 / k tan, #cos (1 / k) # és, de fet, positiu.

A més, podem dir #cos (1 / k) <= 1 #, com #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

A continuació, podem definir una nova seqüència

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # per a tot # k. #

Bé, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Sabem que això convergeix amb el # p- #prova de sèrie, està en el formulari # sum1 / k ^ p # on # p = 2> 1 #.

Llavors, atès que la sèrie més gran convergeix, també ha de ser la sèrie més petita.

Resposta:

Convergeix a través de la prova de comparació directa (mireu a continuació els detalls).

Explicació:

Reconèixer que l’interval de cosinus és -1,1. Fes un cop d'ull al gràfic de #cos (1 / x) #:

gràfic {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Com podeu veure, el màxim el valor que aconseguirà serà 1. Atès que estem intentant demostrar la convergència aquí, posem el numerador a 1, deixant:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Ara, això es converteix en un problema de prova de comparació directa molt simple. Recordeu el que fa la prova de comparació directa:

Considerem una sèrie arbitrària # a_n # (no sabem si convergeix / divergeix), i una sèrie per la qual coneixem la convergència / divergència, # b_n #:

Si #b_n> a_n # i # b_n # converge, doncs # a_n # també convergeix.

Si #b_n <a_n # i # b_n # divergeix, doncs # a_n # també divergeix.

Podem comparar aquesta funció amb #b_n = 1 / k ^ 2 #. Ho podem fer perquè sabem que convergeix (a causa de la prova p).

Per tant, des de llavors # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, i # 1 / k ^ 2 # convergeix, podem dir que el sèrie convergeix

Però, espera, només vam demostrar que aquesta sèrie convergeix quan el numerador = 1. Què passa amb tots els altres valors #cos (1 / k) # podria prendre? Bé, recorda que 1 és el màxim valor que podria prendre el numerador. Així doncs, com hem demostrat que convergeix, hem demostrat indirectament que aquesta sèrie ha convergit per a qualsevol valor del numerador.

Espero que t'hagi ajudat:)

Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {5+ (1 / n)} convergeix de n = 1 a infinit?

Sigui: a_n = 5 + 1 / n llavors per a qualsevol m, n en NN amb n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) com n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n i com 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Donat qualsevol nombre real epsilon> 0, escolliu llavors un enter N> 1 / epsilon. Per a qualsevol sencer m, n> N tenim: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon que demostra la condició de Cauchy per a la convergència d'una seqüència.

Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {2 ^ -n} convergeix de n = 1 a infinit?

Utilitzeu les propietats de la funció exponencial per determinar N tal com | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon per a cada m, n> N La definició de convergència indica que {a_n} convergeix si: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon doncs, donat epsilon> 0 pren N> log_2 (1 / epsilon) i m, n> N amb m <n Com m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n)) 0 de manera que | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Ara com 2 ^ x sempre és positiu, (1- 2 ^ (mn)) <1, de manera que 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <

Suposem, a_n és monòton i convergeix i b_n = (a_n) ^ 2. B_n convergeix necessàriament?

Sí. Sigui l = lim_ (n -> + oo) a_n. a_n és monòton de manera que b_n també serà monòton, i lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2. És com amb funcions: si f i g tenen un límit finit en a, llavors el producte f.g tindrà un límit en a.