Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {2 ^ -n} convergeix de n = 1 a infinit?

$Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {2 ^ -n} convergeix de n = 1 a infinit?$

Resposta:

Utilitzeu les propietats de la funció exponencial per determinar N tal com # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # per cada # m, n> N #

Explicació:

La definició de convergència estableix que el # {a_n} # convergeix si:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Per tant, donat #epsilon> 0 # prendre #N> log_2 (1 / epsilon) # i # m, n> N # amb #m <n #

Com #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 tan # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Ara com # 2 ^ x # sempre és positiu, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, tan

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

I com # 2 ^ (- x) # és estrictament decreixent i #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Però:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Tan:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.

El primer i el segon termes d’una seqüència geomètrica són, respectivament, el primer i el tercer termes d’una seqüència lineal. El quart terme de la seqüència lineal és 10 i la suma dels seus primers cinc termes és 60.

{16, 14, 12, 10, 8} Una seqüència geomètrica típica es pot representar com c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k i una seqüència aritmètica típica com c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Cridar c_0 a com el primer element de la seqüència geomètrica que tenim {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "El primer i el segon de GS són el primer i el tercer d’un LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "El quart terme de la seqüència lineal és 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "La suma dels primers cinc termes és de 60"):}

Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {5+ (1 / n)} convergeix de n = 1 a infinit?

Sigui: a_n = 5 + 1 / n llavors per a qualsevol m, n en NN amb n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) com n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n i com 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Donat qualsevol nombre real epsilon> 0, escolliu llavors un enter N> 1 / epsilon. Per a qualsevol sencer m, n> N tenim: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon que demostra la condició de Cauchy per a la convergència d'una seqüència.

Utilitzant la definició de convergència, com es demostra que la seqüència lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 convergeix?

Donat qualsevol nombre epsilon> 0 escolliu M> 1 / sqrt (6epsilon), amb M a NN. A continuació, per a n> = M tenim: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon i per tant: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon que demostra el límit.