Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {5+ (1 / n)} convergeix de n = 1 a infinit?

Deixar:

#a_n = 5 + 1 / n #

llavors per a qualsevol # m, n a NN # amb #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

com #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

i com # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Donat qualsevol nombre real #epsilon> 0 #, trieu llavors un enter #N> 1 / epsilon #.

Per a qualsevol nombre enter # m, n> N # tenim:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

el que demostra la condició de Cauchy per a la convergència d’una seqüència.