Resposta:
# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Explicació:
Primer let # t = cosx #.
# y = t ^ 2 + 7t + 8 #
Ara, anem a completar el quadrat per provar això.
# y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #
Tingues en compte que # (t + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #
# = t ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# = t ^ 2 + 7t + 49/4 #
Així que volem afegir #49/4# a l’expressió i restar-la de nou.
# y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #
Tingues en compte que #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
Tingueu en compte això # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
# y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
Ara, tenim una diferència de quadrats i podem factoritzar com un únic.
#y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #
# y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #
Si ho desitgem, podem aportar un factor comú de #1/2# de cada part:
# y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Resposta:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
Explicació:
deixar # u = cos (x) #
La pregunta es converteix llavors:
Factor # u ^ 2 + 7u + 8 # només podeu utilitzar la fórmula quadràtica aquí, és a dir, # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
o podeu fer-ho del camí llarg (que no és millor que la fórmula, de fet és un dels mètodes que utilitza per formular la fórmula quadràtica):
trobar dues arrels, # r_1 # i # r_2 # de tal manera que # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
Expandiu: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
Així: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
i per tant: # - (r_1 + r_2) = 7 # i # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 =
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + _ sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
Per tant, la forma factoritzada és # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
sub # u = cos (x) # aconseguir:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
