Com fas factor cos ^ 2 x + 7 cos x + 8?

Resposta:

# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

Primer let # t = cosx #.

# y = t ^ 2 + 7t + 8 #

Ara, anem a completar el quadrat per provar això.

# y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #

Tingues en compte que # (t + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #

# = t ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #

# = t ^ 2 + 7t + 49/4 #

Així que volem afegir #49/4# a l’expressió i restar-la de nou.

# y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #

Tingues en compte que #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.

# y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #

Tingueu en compte això # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.

# y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #

Ara, tenim una diferència de quadrats i podem factoritzar com un únic.

#y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #

# y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #

Si ho desitgem, podem aportar un factor comú de #1/2# de cada part:

# y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #

deixar # u = cos (x) #

La pregunta es converteix llavors:

Factor # u ^ 2 + 7u + 8 # només podeu utilitzar la fórmula quadràtica aquí, és a dir, # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #

o podeu fer-ho del camí llarg (que no és millor que la fórmula, de fet és un dels mètodes que utilitza per formular la fórmula quadràtica):

trobar dues arrels, # r_1 # i # r_2 # de tal manera que # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

Expandiu: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #

# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #

Així: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

i per tant: # - (r_1 + r_2) = 7 # i # (r_1) (r_2) = 8 #

# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #

# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #

# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #

# r_1-r_2 =

# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + _ sqrt (17)} {2} #

# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #

Per tant, la forma factoritzada és # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #

sub # u = cos (x) # aconseguir:

# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #