Sigui f: pujada definit de R a R. trobar la solució de f (x) = f ^ -1 (x)?

Resposta:

# f (x) = x #

Explicació:

Busquem una funció #f: RR rarr RR # aquesta solució #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

És a dir, busquem una funció que sigui la seva pròpia inversa. Una funció òbvia és la solució trivial:

# f (x) = x #

Tanmateix, una anàlisi més exhaustiva del problema té una complexitat significativa, tal i com es va explorar per Ng Wee Leng i Ho Foo Him, tal com es va publicar al Journal of the Association of Teachers of Mathematics.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Resposta:

Comproveu a continuació.

Explicació:

Els punts en comú entre # C_f # i #C_ (f ^ (- 1)) # si existeixen, no sempre es troben a la bisectriu # y = x #. Aquí teniu un exemple d’aquesta funció: #f (x) = 1-x ^ 2 # #color (blanc) (a) #, # x ## in ## 0, + oo) #

gràfic {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7,02, 7,03, -5,026, 1,994}

No obstant això, només es troben a la bisectriu i només si # f # és # # augmentant.

Si # f # Aleshores és estrictament creixent #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Si # f # no augmenta estrictament els punts comuns si es resol resolent el sistema d’equacions

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (i) ""):} #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (i) ""):} #<=>…#

Resposta:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1

Explicació:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #color (blanc) (aa) #, # x ## in ## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #color (blanc) (aa) #, # AA ## x ## in ## RR #

tan # f # és # # in # RR #. Com a funció estrictament monòtona també és "#1-1#"i com a funció d’una a una, té una inversa.

Hem de resoldre l’equació #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #