Hi ha 7 nens a l'aula. De quantes maneres es poden alinear per al recés?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Aquest problema en particular és un permutació. Recordem, la diferència entre permutacions i combinacions és que, amb permutacions, l'ordre és important. Atès que la pregunta es pregunta quantes maneres els estudiants poden alinear-se per al recés (és a dir, quantes comandes diferents), aquesta és una permutació.

Imagineu-vos per al moment que omplim només dues posicions, la posició 1 i la posició 2. Per tal de diferenciar els nostres estudiants, perquè l'ordre és important, assignarem cadascuna una lletra de A a G. Ara, si estem emplenant aquestes posicions un a la vegada, tenim set opcions per omplir la primera posició: A, B, C, D, E, F i G. Tanmateix, un cop s’ha omplert aquesta posició, només tenim sis opcions per al segon, perquè un dels els estudiants ja s'han posicionat.

Com a exemple, suposem que A es troba en la posició 1. Llavors, les nostres possibles comandes de les nostres dues posicions són AB (és a dir, A a la posició 1 i B de la posició 2), AC, AD, AE, AF, AG. Tanmateix … això no té en compte totes les ordres possibles, ja que hi ha 7 opcions per a la primera posició. Així, si B estigués en la posició 1, tindríem com a possibilitats BA, BC, BD, BE, BF i BG. Així, multipliquem el nostre nombre d’opcions: #7*6 = 42#

Si mirem enrere el problema inicial, hi ha 7 estudiants que es poden col·locar a la posició 1 (de nou, suposant que omplim les posicions del 1 al 7 en ordre). Un cop emplenada la posició 1, es poden col·locar 6 estudiants a la posició 2. Amb les posicions 1 i 2 plenes, 5 es poden col·locar a la posició 3, etcètera, fins que només es pugui col·locar un estudiant en l'última posició. Així, multiplicant el nostre nombre d’opcions junts, obtindrem #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Per obtenir una fórmula més general per trobar el nombre de permutacions de # n # objectes presos # r # en un moment, sense reemplaçament (és a dir, l’estudiant de la posició 1 no torna a la zona d’espera i es converteix en una opció per a la posició 2), solem utilitzar la fórmula:

Nombre de permutacions = # "n!" / "(n-r)!".

amb # n # el nombre d'objectes, # r # el nombre de posicions a omplir i #!# el símbol per al factorial, una operació que actua sobre un enter enter no negatiu # a # de tal manera que #a! # = #atimes (a-1) vegades (a-2) vegades (a-3) vegades … vegades (1) #

Així, utilitzant la nostra fórmula amb el problema original, on tenim 7 estudiants fets 7 a la vegada (per exemple, volem omplir 7 posicions), tenim

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Pot semblar contra-intuïtiu això #0! = 1#; tanmateix, això és realment el cas.