Resposta:
La sèrie convergeix absolutament.
Explicació:
Primer compte que:
i
Per tant, si
Aquesta és una sèrie de p amb
Per tant, la sèrie convergeix absolutament:
Consulteu http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html per obtenir més informació.
Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {5+ (1 / n)} convergeix de n = 1 a infinit?
Sigui: a_n = 5 + 1 / n llavors per a qualsevol m, n en NN amb n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) com n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n i com 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Donat qualsevol nombre real epsilon> 0, escolliu llavors un enter N> 1 / epsilon. Per a qualsevol sencer m, n> N tenim: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon que demostra la condició de Cauchy per a la convergència d'una seqüència.
Utilitzant la definició de convergència, com demostrar que la seqüència {2 ^ -n} convergeix de n = 1 a infinit?
Utilitzeu les propietats de la funció exponencial per determinar N tal com | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon per a cada m, n> N La definició de convergència indica que {a_n} convergeix si: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon doncs, donat epsilon> 0 pren N> log_2 (1 / epsilon) i m, n> N amb m <n Com m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n)) 0 de manera que | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Ara com 2 ^ x sempre és positiu, (1- 2 ^ (mn)) <1, de manera que 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <
Com s'utilitza la Prova Integral per determinar la convergència o la divergència de la sèrie: suma n e ^ -n de n = 1 a infinit?
Prenem la integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, que és finita, i tingueu en compte que limita la suma_ (n = 2) ^ o n e ^ (- n). Per tant, és convergent, així que la suma _ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) també. La declaració formal de la prova integral estableix que si fin [0, oo) redirecciona la dreta RR una funció monotona decreixent que no és negativa. Aleshores la suma sum_ (n = 0) ^ o (n) és convergent si i només si "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx és finita. (Tau, Terence. Anàlisi I, segona edició. Agència de llibres Hindustan. 2009). Aquesta declaraci