Quin és el comportament final de la funció f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> com #x -> (#ln (x) # creix sense lligar com # x # creix sense lligar) i #f (x) = ln (x) -> - infty # com #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # creix sense lligar en la direcció negativa # x # s'aproxima a zero des de la dreta).

Per demostrar el primer fet, essencialment heu de demostrar que la funció creixent #f (x) = l (x) # no té asíntota horitzontal com #x ->.

Deixar #M> 0 # sigueu un nombre positiu donat (per molt que sigui). Si #x> e ^ {M} #, llavors #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M (des de #f (x) = ln (x) # és una funció creixent). Això demostra que qualsevol línia horitzontal # y = M # no pot ser una asíntota horitzontal de #f (x) = l (x) # com #x ->. El fet que #f (x) = l (x) # és una funció creixent que implica això #f (x) = l (x) -> com # x-> infty #.

Per demostrar el segon fet, anem #M> 0 # ser un nombre positiu donat de manera que # -M <0 # és un nombre negatiu donat (no importa el lluny de zero). Si # 0 <x <e ^ {- M} #, llavors #f (x) = ln (x) <n (e ^ {- M}) = - M # (des de #f (x) = ln (x) # està augmentant). Això ho demostra #f (x) = l (x) # es troba per sota de qualsevol línia horitzontal si # 0 <x # és prou a zero. Això significa #f (x) = ln (x) -> - infty # com #x -> 0 ^ {+} #.