Demostrar: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Provar # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Deixar # cos ^ -1x = teta #

# => x = costheta #

Ara # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Espectacle

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

De vegades trigar és menys fer matemàtiques i més sobre reconèixer les matemàtiques quan ho veiem. Aquí reconeixem # 4x ^ 3 -3x # com la fórmula de triple angle cosinus, cos (3 heta) # Quan # x = cos.

Factoide: # 4x ^ 3-3x # també es diu # T_3 (x) #, el tercer polinomi Chebyshev del primer tipus. En general, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Assumirem # arccos # fa referència al valor principal. Prefereixo trucar al director #text {Arc} text {cos} # però això és més difícil d’escriure.

Fons suficient. Una vegada que hem reconegut la fórmula de triple angle, la prova és fàcil.

Prova:

Deixar #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #