Demostrar que: (és cert per a qualsevol x, y positiu) :? x ^ x * y ^ y> = ((x + y) / 2) ^ (x + y)

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

Tingueu en compte #f (x) = x ln x #

Aquesta funció té un hipògraf convex perquè

#f '' (x) = 1 / x> 0 #

així en aquest cas

#f ((x + y) / 2) el 1/2 (f (x) + f (i)) # o bé

# ((x + y) / 2) ln ((x + y) / 2) el 1/2 (x ln x + y ln y) # o bé

# ((x + y) / 2) ^ ((x + y) / 2) le (x ^ x y ^ y) ^ (1/2) #

i finalment quadrant els dos costats

# ((x + y) / 2) ^ (x + y) le x ^ x y ^ y #

"Lena té 2 enters consecutius.Es nota que la seva suma és igual a la diferència entre els seus quadrats. Lena escull dos altres enters consecutius i nota la mateixa cosa. Demostrar algebraicament que això és cert per a 2 enters consecutius?

Si us plau, consulteu l'explicació. Recordem que els enters consecutius difereixen per 1. Per tant, si m és un sencer, llavors, l’enter sencer ha de ser n + 1. La suma d'aquests dos enters és n + (n + 1) = 2n + 1. La diferència entre els seus quadrats és (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, com es desitja! Sent la joia de les matemàtiques.

Demostrar que per a qualsevol enter A és vàlid: Si A ^ 2 és un múltiple de 2, llavors A també és un múltiple de 2?

Utilitzeu la contraposició: Si i només si A-> B és cert, notB-> notA també és cert. Podeu provar el problema utilitzant contraposició. Aquesta proposició és equivalent a: Si A no és un múltiple de 2, llavors A ^ 2 no és un múltiple de 2. (1) Demostreu la proposició (1) i heu acabat. Sigui A = 2k + 1 (k: sencer). Ara A és un número senar. Aleshores, A ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4k ^ 2 + 4k + 1 = 2 (2k ^ 2 + 2k) +1 també és estrany. La proposició (1) està provada i, per tant, el problema original.

Amb quin exponent la potència de qualsevol número es converteix en 0? Com sabem que (qualsevol nombre) ^ 0 = 1, doncs, quin serà el valor de x en (qualsevol nombre) ^ x = 0?

Vegeu a continuació: Sigui z un nombre complex amb estructura z = rho e ^ {i phi} amb rho> 0, rho a RR i phi = arg (z) podem fer aquesta pregunta. Per quins valors de n en RR ocorre z ^ n = 0? Desenvolupant una mica més de z ^ n = rho ^ ne ^ {en phi} = 0-> e ^ {in phi} = 0 perquè per hipòtesi rho> 0. Així, utilitzant la identitat de Moivre e ^ {in phi} = cos (n phi) ) + i sin (n phi) llavors z ^ n = 0-> cos (n phi) + i sin (n phi) = 0-> n phi = pi + 2k pi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots Finalment, per n = (pi + 2k pi) / phi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots obtenim z ^ n = 0