Quins són els símptomes i els forats, si n'hi ha, de f (x) = xsin (1 / x)?

Resposta:

Consulteu-ne més avall.

Explicació:

Bé, òbviament hi ha un forat # x = 0 #, des de la divisió per #0# no és possible.

Podem fer gràfics la funció:

gràfic {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

No hi ha altres asimptotes ni forats.

Resposta:

#f (x) # té un forat (discontinuïtat extraïble) a # x = 0 #.

També té una asíntota horitzontal # y = 1 #.

No té asimptotes verticals ni inclinades.

Explicació:

Donat:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Vaig a utilitzar algunes de les propietats de #sin (t) #, a saber:

• #abs (sin t) <= 1 "" # per a tots els valors reals de # t #.

• #lim_ (-> 0) sin (t) / t = 1

• #sin (-t) = -sin (t) "" # per a tots els valors de # t #.

Primer nota #f (x) # és una funció parella:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Trobem:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Tan:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Ja que això és #0#, també ho és #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

També, des de #f (x) # és igual:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Tingues en compte que #f (0) # és indefinit, ja que implica la divisió per #0#, però els límits dret i esquerre existeixen i estan d’acord # x = 0 #, per tant, té un forat (discontinuïtat extraïble) allà.

També trobem:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

De la mateixa manera:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Tan #f (x) # té una asíntota horitzontal # y = 1 #

gràfic {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}