Pregunta # 69feb

Resposta:

Línia normal: # y = (x-2-e ^ 4) / i ^ 2. Línia tangent: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Explicació:

Per intuïció: Imagineu-vos que la funció #f (x, y) = e ^ x ln (i) - xy # descriu l’altura d’un terreny, on # x # i # y # són coordenades en el pla i #ln (y) # se suposa que és el logaritme natural. Llavors tot # (x, y) # de tal manera que #f (x, y) = a # (l’altura) és igual a alguna constant # a # es diuen corbes de nivell. En el nostre cas, l'alçada constant # a # és zero, ja que #f (x, y) = 0 #.

Pot ser que estigui familiaritzat amb els mapes topogràfics, en els quals les línies tancades indiquen línies de la mateixa alçada.

Ara el degradat #grad f (x, y) = ((parcial f) / (parcial x), (parcial f) / (parcial x)) = (e ^ x l (y) - y, e ^ x / i - x) # ens dóna la direcció en un punt # (x, y) # en quin #f (x, y) # (l'alçada) canvia el més ràpid. És cap amunt o recte pel turó, sempre que el nostre terreny sigui llis (diferenciable), i no estiguem a la part superior, en un fons o en un altell (un punt extrem). Això és, de fet, la direcció normal a una corba d’altura constant, tal com a # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 l (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / i ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Per tant, el línia normal en aquesta direcció passant # (2, e ^ 2) # es pot descriure com

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, on #s a mathbbR # és un paràmetre real. Podeu eliminar # s # per expressar # y # en funció de # x # si ho preferiu, trobar

# y = (x-2-e ^ 4) / i ^ 2.

La derivada direccional en la direcció tangent ha de ser #0# (el que significa que l'alçada no canvia), per tant, un vector tangent # (u, v) # ha de satisfer

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, on # cdot # significa el producte de punts. Tan # (u, v) = (1, e ^ 2) # és una opció vàlida. Per tant, el línia tangent anar a través # (2, e ^ 2) # es pot descriure com

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t a mathbbR #.

Resolució de # y # dóna això

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Finalment, haureu de comprovar-ho # (2, e ^ 2) # es troba a la corba #f (x, y) #, a la línia tangent i a la línia normal.